Непонятные моменты в многомерной теореме Лагранжа

[Mad_Max]

мат-ламер
К этой формуле у меня есть серьезные вопросы. Как она вообще получилась?
Если использовать chain rule, то она дает композицию дифференциалов. А мы тут как-то избавились от композиции и написали скалярное произведение. Откуда-то вытащили $y-x$.
Более того, как тут следует понимать $F'(\theta)$?

У меня уже голова немного кругом идет от всего этого поскольку я окончательно запутался во всем этом.

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1585779 писал(а):

мат-ламер
К этой формуле у меня есть серьезные вопросы. Как она вообще получилась?

Дайте мне время чуток посоображать. Вы пока побеседуйте с другими помогающими. Надеюсь на их помощь.

[Mad_Max]

Padawan
Извините, а может Вы раскроете смысл Вашего комментария?

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):

Однако, правая часть $f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)$ есть линейная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то есть число равно функции. Они не могут быть равны так как это объекты совершенно другой природы.

Вот она, ошибка! Правая часть тут есть не линейная функция, а значение этой линейной функции на вполне конкретном $\theta$ .

-- Пт мар 17, 2023 20:46:38 --

Итак, у нас $f':R^n\to R$ и $\varphi':R\to R^n$ . Тогда $(f' \circ \varphi'):R\to R$ - линейная функция. Но нас интересует не это. Нас интересует $(f' \circ \varphi')(\theta)\in R $ , что есть конкретное число. А в координатах оно представляется как скалярное произведение $f' (\theta) \cdot \varphi'$ , учитывая, что $\varphi'$ от $\theta$ не зависит.

Уже сам начал чего-то понимать. Или мне это только кажется?

-- Пт мар 17, 2023 20:59:46 --

мат-ламер в сообщении #1585792 писал(а):

А в координатах оно представляется как скалярное произведение $f' (\theta) \cdot \varphi'$ ,

Подробнее это можно записать как $F'(\theta)=\nabla f (x+\theta (y-x)) \cdot (y-x)$ , учитывая, что $\varphi' = y-x$ .

-- Пт мар 17, 2023 21:06:16 --

мат-ламер в сообщении #1585772 писал(а):

А может $ \varphi'(\theta):\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ ? То есть это линейный функционал на $\mathbb{R}^m $, то есть элемент сопряжённого пространства к $\mathbb{R}^m$ . А значение этого функционала на каком-то векторе $z$ есть скалярное произведение $(y-x)\cdot z$ .

Это не так. Извиняюсь.

[Mad_Max]

мат-ламер в сообщении #1585792 писал(а):

Mad_Max в сообщении #1585718 писал(а):

Однако, правая часть $f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)$ есть линейная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, то есть число равно функции. Они не могут быть равны так как это объекты совершенно другой природы.

Вот она, ошибка! Правая часть тут есть не линейная функция, а значение этой линейной функции на вполне конкретном $\theta$ .

Извините, но я не соглашусь с этим! $f'(x+\theta(y-x))$ - это линейное отображение из $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}$, а $\varphi'(\theta)$ - также линейное отображение из $R$ в $\mathbb{R}^m$. Их композиция - это тоже линейное отображение! и мы не вычисляем эту композицию в точке!

[мат-ламер]

Mad_Max в сообщении #1585798 писал(а):

Извините, но я не соглашусь с этим!

Возможно вы и правы. Но есть изоморфизм между линейными функциями из $R$ в $R$ и числами. Что позволяет в уме отождествлять эти объекты.

-- Пт мар 17, 2023 21:25:32 --

А вообще тут глобальный вопрос. Вот есть дифференцируемая функция $f:R\to R$ . Её производная в конкретной точке, это что, число, или линейное отображение (которое может задаваться числом)? Можем ли мы эти понятия не различать в тех случаях, когда это нам удобно? Или должны проводить тут строгое разделение? И мне кажется, что ваш вопрос из первого поста как раз про это.

[Mad_Max]

мат-ламер в сообщении #1585800 писал(а):

А вообще тут глобальный вопрос. Вот есть дифференцируемая функция $f:R\to R$ . Её производная в конкретной точке, это что, число, или линейное отображение (которое может задаваться числом)? Можем ли мы эти понятия не различать в тех случаях, когда это нам удобно? Или должны проводить тут строгое разделение? И мне кажется, что ваш вопрос из первого поста как раз про это.

Да в этом и есть мой вопрос и было бы неплохо если бы кто-нибудь вмешался и ответил бы на наши вопросы.

[Combat Zone]

Всегда тоскливо отвечать на все эти вопросы. И есть причина, почему.

Mad_Max, вам уже предложили: хотите работать с дифференциалами - работайте с дифференциалами. Дифференциал слева $dF(\theta,h)=F'(\theta)h$ будет равен дифференциалу композиции справа. Ну и чудесно. Возьмите и его на единичном приращении аргумента, получите требуемое.

Что конкретно непонятно в этих двух строках?

С другой стороны, можно работать с матрицами дифференциалов - и тоже что-то получать. Разницы на выходе не будет. В первом случае будет равенство значений двух линейных отображений при конкретном значении аргумента, во втором - равенство их матриц в фиксированном базисе. Одинаковые равенства.

[мат-ламер]

Хочу посмотреть на проблему немного с другой стороны. С одной стороны приращение функции на отрезке задаётся формулой: $ f(y)-f(x)=(f'(\varphi(\theta))\circ \varphi'(\theta))(1)=(f'(x+\theta(y-x))\circ \varphi'(\theta)) (1) $ . Никакого противоречия, что функция равна числу здесь нет. Это число, равное значению некоторой линейной функции $R\to R$ на числе $1$ . Но хочется преобразовать эту формулу в более удобный для применения вид. Учитывая, что значения функции $\varphi'(\theta)$ равно тождественно $y-x$ , нашу формулу можно переписать в виде $f(y)-f(x)=f'(x+\theta(y-x)) \cdot (y-x)$ , где точка у меня скалярное произведение, а $f'(x+\theta(y-x))$ уже не отображение $R^n \to R$ , а элемент пространства, сопряжённого к $R^n$ . Это градиент функции $f$ в точке $x+\theta(y-x)$ . И тут вопрос, насколько обстоятельно такой переход надо обосновывать, или он очевиден? Если будут мысли, отпишусь позднее.

[Padawan]

мат-ламер
Скалярное произведение вовсе тут ни к чему. Градиент - это ковектор, скалярное произведение позволяет преобразовать его в вектор.

А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1585901 писал(а):

Скалярное произведение вовсе тут ни к чему. Градиент - это ковектор, скалярное произведение позволяет преобразовать его в вектор.

Это я понимаю. Просто в книгах для прикладников это формула часто приводится с скалярным произведением. Также как и формула определения градиента : $f(x+y)=f(x)+\nabla f(x)\cdot y+o(y)$ . И вспоминаю, что скалярное произведение задаёт общий вид линейного функционала в евклидовых пространствах.

Padawan в сообщении #1585901 писал(а):

А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.

Ой не надо так сразу судить. Я помню, как будучи школьником пытался освоить основы матанализа, спотыкался на элементарных вещах.

Я понял тему так, что значение линейной функции $R \to R$ на единице есть число. И так как эта линейная функция задаётся числом, то возникает изоморфизм между такими функциями и числами. Это обычная ситуация в математике. Например, путём введения координат, можно установить изоморфизм между линейными операторами и матрицами. И об изоморфных объектах часто мыслят как о тождественных. И всё было объяснено уже в первых постах.

[vpb]

Padawan в сообщении #1585901 писал(а):

А вообще, мне кажется, что топикстарер - тролль.

Ой, таки же ж мене то же самое !

[Mad_Max]

Padawan
Почему тролль? Никакой не тролль. Возник вопрос и я его задал. К счастью, Ваш первый комментарий помог мне разобраться. Спасибо за помощь!