Расстояние от точки до подмножеств и подпространств

[Ludi]

Итак, я совсем запутался. Мне дано несколько задач, формулировка которых сводится к тому, что:

1. Доказать, что в полном нормированном пространстве расстояние между точкой и замкнутым подмножеством этого нормированного пространства может не достигаться (то бишь пример привести).

2. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и конечномерным линейным подмножеством этого пространства всегда достигается.

3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Изломал себе мозги, пытаясь решить 2 и 3, но могу доказать справедливость этих утверждений лишь в тривиальных случаях. Подозреваю, что 2 и 3 следуют из того, что что подмножество из 2, что подпространство из 3 -- компактные, но как это доказать -- не знаю.

Ещё было бы круто догнать как конструировать пример в 1, предполагаю, что подмножество должно быть неограниченным каким-то.

Буду рад помощи!

[Anton_Peplov]

Что означают слова "расстояние достигается"? Чем достигается?

[artempalkin]

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

1. Доказать, что в полном нормированном пространстве расстояние между точкой и замкнутым подмножеством этого нормированного пространства может не достигаться (то бишь пример привести).

Классический пример: $C[-1,1]$, а множество - это такие функции, для которых $\int_{-1}^0f(x)dx=\int_0^1f(x)dx$
Да, а точка - любая, не принадлежащая этому множеству.

-- 18.03.2023, 14:27 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

2. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и конечномерным линейным подмножеством этого пространства всегда достигается.

Если конечномерное подпространство - это $V$, а точка - $x$, то если $x\in V$, то расстояние есть $0$ и оно достигается на самом $x$. А если не принадлежит, тогда перейдем в пространство размерности на единицу больше $V+\alpha x$ с сохранением нормы. Там расстояние всегда достигается по известным теоремам линала, а значит и в исходном мире будет достигаться.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1585850 писал(а):

Что означают слова "расстояние достигается"? Чем достигается?

Расстояние между точкой и множеством это точная нижняя грань. Точная нижняя грань достигается, значит, что вместо $\inf$ можно написать $\min$

[artempalkin]

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

подмножество из 2, что подпространство из 3 -- компактные, но как это доказать -- не знаю

Не скажите случайно это на экзамене :) Компакт - это такое подмножество метрического пространства, что из любой последовательности в нем можно выделить сходящуюся (к элементу из него же). Из любой ли последовательности точек в нормированном пространстве (даже конечномерном) можно выделить сходящуюся последовательность?

-- 18.03.2023, 14:32 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Что-то это не может быть верным, учитывая пример для первого номера... или я чего-то не понимаю...

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1585856 писал(а):

Расстояние между точкой и множеством это точная нижняя грань.

А! Виноват. Подзабыл уже определения.

[Padawan]

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Это неверно, уважаемый artempalkin
привёл контрпример в пространстве $C([-1, 1])$

-- Сб мар 18, 2023 16:42:02 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):

Ещё было бы круто догнать как конструировать пример в 1

Пример artempalkin хорош тем, что он опровергает 3. Если можно брать любое замкнутое множество, не обязательно подпространство, то можно пример гораздо проще привести. Чуть-чуть подправьте базис в сепарабельном гильбертовом пространстве, чтобы расстояние до нуля не достигалось.