2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 13:29 


01/08/20
28
Итак, я совсем запутался. Мне дано несколько задач, формулировка которых сводится к тому, что:

1. Доказать, что в полном нормированном пространстве расстояние между точкой и замкнутым подмножеством этого нормированного пространства может не достигаться (то бишь пример привести).

2. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и конечномерным линейным подмножеством этого пространства всегда достигается.

3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Изломал себе мозги, пытаясь решить 2 и 3, но могу доказать справедливость этих утверждений лишь в тривиальных случаях. Подозреваю, что 2 и 3 следуют из того, что что подмножество из 2, что подпространство из 3 -- компактные, но как это доказать -- не знаю.

Ещё было бы круто догнать как конструировать пример в 1, предполагаю, что подмножество должно быть неограниченным каким-то.

Буду рад помощи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Что означают слова "расстояние достигается"? Чем достигается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:14 


14/02/20
832
Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
1. Доказать, что в полном нормированном пространстве расстояние между точкой и замкнутым подмножеством этого нормированного пространства может не достигаться (то бишь пример привести).

Классический пример: $C[-1,1]$, а множество - это такие функции, для которых $\int_{-1}^0f(x)dx=\int_0^1f(x)dx$
Да, а точка - любая, не принадлежащая этому множеству.

-- 18.03.2023, 14:27 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
2. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и конечномерным линейным подмножеством этого пространства всегда достигается.

Если конечномерное подпространство - это $V$, а точка - $x$, то если $x\in V$, то расстояние есть $0$ и оно достигается на самом $x$. А если не принадлежит, тогда перейдем в пространство размерности на единицу больше $V+\alpha x$ с сохранением нормы. Там расстояние всегда достигается по известным теоремам линала, а значит и в исходном мире будет достигаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:28 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Anton_Peplov в сообщении #1585850 писал(а):
Что означают слова "расстояние достигается"? Чем достигается?

Расстояние между точкой и множеством это точная нижняя грань. Точная нижняя грань достигается, значит, что вместо $\inf$ можно написать $\min$

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:29 


14/02/20
832
Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
подмножество из 2, что подпространство из 3 -- компактные, но как это доказать -- не знаю

Не скажите случайно это на экзамене :) Компакт - это такое подмножество метрического пространства, что из любой последовательности в нем можно выделить сходящуюся (к элементу из него же). Из любой ли последовательности точек в нормированном пространстве (даже конечномерном) можно выделить сходящуюся последовательность?

-- 18.03.2023, 14:32 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Что-то это не может быть верным, учитывая пример для первого номера... или я чего-то не понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1585856 писал(а):
Расстояние между точкой и множеством это точная нижняя грань.
А! Виноват. Подзабыл уже определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние от точки до подмножеств и подпространств
Сообщение18.03.2023, 14:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
3. Доказать, что в нормированном пространстве расстояние между точкой и подпространством этого пространства всегда достигается.

Это неверно, уважаемый artempalkin
привёл контрпример в пространстве $C([-1, 1])$

-- Сб мар 18, 2023 16:42:02 --

Ludi в сообщении #1585846 писал(а):
Ещё было бы круто догнать как конструировать пример в 1

Пример artempalkin хорош тем, что он опровергает 3. Если можно брать любое замкнутое множество, не обязательно подпространство, то можно пример гораздо проще привести. Чуть-чуть подправьте базис в сепарабельном гильбертовом пространстве, чтобы расстояние до нуля не достигалось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group