2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 18:24 


24/06/21
49
Нужна помощь с интегралом:
$$I = \int\limits_{0}^{\pi} \cos(nt) (\sin(t))^n dt \quad n = 2k, k \in \mathbb{N}$$
Пытался найти по частям, записав рекуррентное соотношение (интегрировал два раза $\cos(nt)$). Однако получается глупость: $$I_{n-2} = 0$$.В вольфраме ответ что-то вроде $$I = \pi (-1)^{n/2} 2^{-n}$$ Можете объяснить, как вычислить этот интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9534
Цюрих
intex2dx в сообщении #1585534 писал(а):
Пытался найти по частям, записав рекуррентное соотношение (интегрировал два раза $\cos(nt)$). Однако получается глупость: $$I_{n-2} = 0$$
А покажите выкладки. Вроде должно всё получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 19:27 


24/06/21
49
Сейчас только что повторил выкладки. Понял, что немного другой результат получается (возможно, полезный для решения):
$$I_n \equiv \int\limits_{0}^{\pi} \cos(nt) (\sin t)^n dt = -\int\limits_{0}^{\pi} \sin(nt) (\sin(t))^{n-1} \cos{t} dt = -\int\limits_{0}^{\pi} \frac{\cos{nt}}{n} ((n-1) (\sin{t})^{n-2} \cos^2 {t} - (\sin{t})^n )dt = $$ $$ =  I_n - \frac{n-1}{n}\int\limits_{0}^{\pi} \cos{nt} (\sin{t})^{n-2} dt \Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi} \cos{nt} (\sin{t})^{n-2} = 0 $$
Возможно, тут можно дальше как-то выразить это через $I_{n-2}$, например. Есть также ощущение, что может быть нужно сначала посчитать производную интеграла по $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Изменим пределы на $\int_{-\pi}^\pi$ (в конце на 2 поделим).
Дополним $\cos nt$ до $e^{int}=\cos nt+i\sin nt$ (в конце вещественную часть возьмём).
Выразим синус через экспоненты. Получим
$\int\limits_{-\pi}^\pi e^{int} \left(\dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^n dt=(-1)^{n/2}2^{-n}\int\limits_{-\pi}^\pi  (e^{2it}-1)^n dt$
В разложении бинома получатся слагаемые с экспонентами разных степеней, но только слагаемое с нулевой степенью (т.е. константа) даёт вклад в интеграл, и он равен $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9534
Цюрих
Да, я тоже обсчитался, по частям всё же не получается (по крайней мере у меня ни к чему хорошему не свелось). Проще всего, видимо, как предлагает svv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение15.03.2023, 20:36 


24/06/21
49
Да, действительно, сразу что-то не решился через экспоненты писать. Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл по частям
Сообщение16.03.2023, 20:03 


14/02/20
872
Способ уважаемого svv прост, но я бы добавил элегантности :)
Удваиваем период и дальше делаем замену $z(t)=e^{it}$. Тогда $\sin t= \frac {z^2-1}{2iz}$, $\cos nt=\frac {z^{2n}+1}{2z^n}$, $dt=-i\frac {dz}z$. И дальше брать интеграл через вычет в нуле (подынтегральная функция будет уже своим рядом Лорана).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group