Интеграл по частям

[intex2dx]

Нужна помощь с интегралом:

$$I = \int\limits_{0}^{\pi} \cos(nt) (\sin(t))^n dt \quad n = 2k, k \in \mathbb{N}$$

Пытался найти по частям, записав рекуррентное соотношение (интегрировал два раза $\cos(nt)$). Однако получается глупость:

$$I_{n-2} = 0$$

.В вольфраме ответ что-то вроде

$$I = \pi (-1)^{n/2} 2^{-n}$$

Можете объяснить, как вычислить этот интеграл?

[mihaild]

intex2dx в сообщении #1585534 писал(а):

Пытался найти по частям, записав рекуррентное соотношение (интегрировал два раза $\cos(nt)$). Однако получается глупость:

$$I_{n-2} = 0$$

А покажите выкладки. Вроде должно всё получиться.

[intex2dx]

Сейчас только что повторил выкладки. Понял, что немного другой результат получается (возможно, полезный для решения):

$$I_n \equiv \int\limits_{0}^{\pi} \cos(nt) (\sin t)^n dt = -\int\limits_{0}^{\pi} \sin(nt) (\sin(t))^{n-1} \cos{t} dt = -\int\limits_{0}^{\pi} \frac{\cos{nt}}{n} ((n-1) (\sin{t})^{n-2} \cos^2 {t} - (\sin{t})^n )dt = $$ $$ = I_n - \frac{n-1}{n}\int\limits_{0}^{\pi} \cos{nt} (\sin{t})^{n-2} dt \Rightarrow \int\limits_{0}^{\pi} \cos{nt} (\sin{t})^{n-2} = 0 $$

Возможно, тут можно дальше как-то выразить это через $I_{n-2}$, например. Есть также ощущение, что может быть нужно сначала посчитать производную интеграла по $n$.

[svv]

Изменим пределы на $\int_{-\pi}^\pi$ (в конце на 2 поделим).
Дополним $\cos nt$ до $e^{int}=\cos nt+i\sin nt$ (в конце вещественную часть возьмём).
Выразим синус через экспоненты. Получим
$\int\limits_{-\pi}^\pi e^{int} \left(\dfrac{e^{it}-e^{-it}}{2i}\right)^n dt=(-1)^{n/2}2^{-n}\int\limits_{-\pi}^\pi (e^{2it}-1)^n dt$
В разложении бинома получатся слагаемые с экспонентами разных степеней, но только слагаемое с нулевой степенью (т.е. константа) даёт вклад в интеграл, и он равен $2\pi$.

[mihaild]

Да, я тоже обсчитался, по частям всё же не получается (по крайней мере у меня ни к чему хорошему не свелось). Проще всего, видимо, как предлагает svv.

[intex2dx]

Да, действительно, сразу что-то не решился через экспоненты писать. Спасибо

[artempalkin]

Способ уважаемого svv прост, но я бы добавил элегантности :)
Удваиваем период и дальше делаем замену $z(t)=e^{it}$. Тогда $\sin t= \frac {z^2-1}{2iz}$, $\cos nt=\frac {z^{2n}+1}{2z^n}$, $dt=-i\frac {dz}z$. И дальше брать интеграл через вычет в нуле (подынтегральная функция будет уже своим рядом Лорана).