2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 15:42 


28/03/21
187
Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha
Попробовала посчитать в лоб несколько первых частичных произведений, чтобы нащупать какую-нибудь приемлемую формулу: \cos \alpha \cos 2\alpha=\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos 3\alpha) и т.д.
Но уже после третьего умножения получается очень громоздкое выражение. Нет ли более простого способа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 15:52 


10/03/16
3855
Aeroport
Gepidium
Косинусы через реальную часть экспонент, и искать закономерности реальной части произведений комплексных экспонент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:02 


28/03/21
187
ozheredov в сообщении #1585407 писал(а):
Косинусы через реальную часть экспонент
ozheredov
Что значит реальную? В смысле вещественную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
На синус домножить. И всё свернётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:29 
Аватара пользователя


11/02/21

136
TOTAL в сообщении #1585410 писал(а):
На синус домножить. И всё свернётся.

Именно.
Это даже я сообразила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9489
Москва
Gepidium в сообщении #1585405 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha


Методом 18-го верблюда им. Ходжи Наср-эд-Дина. Умножить и поделить на синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 20:00 


28/03/21
187
TOTAL, Евгений Машеров
Я правильно поняла, что вы предлагаете многократное использование формулы синуса двойного угла: $\displaystyle \cos \alpha=\frac {\sin {2\alpha}}{2\sin {\alpha}}$.
Если так, то у меня всё срослось.
Получилось так: $\displaystyle \cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\frac {\sin {2^{n+1}\alpha}}{2^{n+1}\sin {\alpha}}$.
Так верно?
Тогда у меня к вам вопрос относительно оформления решения. Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 23:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Преподаватель поймёт, что использовался тот метод, который был задуман.
Можно ещё так написать:
$\cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\dfrac{\sin 2\alpha}{2\sin\alpha} \dfrac{\sin 4\alpha}{2\sin 2\alpha} \dfrac{\sin 8\alpha}{2\sin 4\alpha} \ldots \dfrac{\sin 2^{n+1}\alpha}{2\sin 2^n\alpha}$
И объяснить, что все синусы сокращаются, кроме первого и последнего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение15.03.2023, 00:05 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Gepidium в сообщении #1585428 писал(а):
Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?
Gepidium
Если бы Вам было предложено в задании это тождество и ставилось задание доказать его - тогда Вы могли использовать индукцию или любой другой способ доказательства.
Но перед Вами изначально стояла задача вычислить сумму. И для получения суммы Вы использовали только равносильные преобразования. Поэтому я полагаю, что необходимости в доказательстве нет.

-- 15.03.2023, 01:48 --

(svv)

svv
Я смотрю, что для обыкновенных дробей Вы используете латехную команду \dfrac. А чем она отличается от обычной \frac?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322, mihaild, MrVitta


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group