Тригонометрическое произведение

[Gepidium]

Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha
Попробовала посчитать в лоб несколько первых частичных произведений, чтобы нащупать какую-нибудь приемлемую формулу: \cos \alpha \cos 2\alpha=\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos 3\alpha) и т.д.
Но уже после третьего умножения получается очень громоздкое выражение. Нет ли более простого способа?

[ozheredov]

Gepidium
Косинусы через реальную часть экспонент, и искать закономерности реальной части произведений комплексных экспонент?

[Gepidium]

ozheredov в сообщении #1585407 писал(а):

Косинусы через реальную часть экспонент

ozheredov
Что значит реальную? В смысле вещественную?

[TOTAL]

На синус домножить. И всё свернётся.

[Vicktorovna]

TOTAL в сообщении #1585410 писал(а):

На синус домножить. И всё свернётся.

Именно.
Это даже я сообразила.

[Евгений Машеров]

Gepidium в сообщении #1585405 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha

Методом 18-го верблюда им. Ходжи Наср-эд-Дина. Умножить и поделить на синус.

[Gepidium]

TOTAL, Евгений Машеров
Я правильно поняла, что вы предлагаете многократное использование формулы синуса двойного угла: $\displaystyle \cos \alpha=\frac {\sin {2\alpha}}{2\sin {\alpha}}$.
Если так, то у меня всё срослось.
Получилось так: $\displaystyle \cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\frac {\sin {2^{n+1}\alpha}}{2^{n+1}\sin {\alpha}}$.
Так верно?
Тогда у меня к вам вопрос относительно оформления решения. Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?

[svv]

Преподаватель поймёт, что использовался тот метод, который был задуман.
Можно ещё так написать:
$\cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\dfrac{\sin 2\alpha}{2\sin\alpha} \dfrac{\sin 4\alpha}{2\sin 2\alpha} \dfrac{\sin 8\alpha}{2\sin 4\alpha} \ldots \dfrac{\sin 2^{n+1}\alpha}{2\sin 2^n\alpha}$
И объяснить, что все синусы сокращаются, кроме первого и последнего.

[Gagarin1968]

Gepidium в сообщении #1585428 писал(а):

Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?

Gepidium
Если бы Вам было предложено в задании это тождество и ставилось задание доказать его - тогда Вы могли использовать индукцию или любой другой способ доказательства.
Но перед Вами изначально стояла задача вычислить сумму. И для получения суммы Вы использовали только равносильные преобразования. Поэтому я полагаю, что необходимости в доказательстве нет.

-- 15.03.2023, 01:48 --

(svv)

svv
Я смотрю, что для обыкновенных дробей Вы используете латехную команду \dfrac. А чем она отличается от обычной \frac?