2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 15:42 


28/03/21
187
Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha
Попробовала посчитать в лоб несколько первых частичных произведений, чтобы нащупать какую-нибудь приемлемую формулу: \cos \alpha \cos 2\alpha=\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos 3\alpha) и т.д.
Но уже после третьего умножения получается очень громоздкое выражение. Нет ли более простого способа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 15:52 


10/03/16
3870
Aeroport
Gepidium
Косинусы через реальную часть экспонент, и искать закономерности реальной части произведений комплексных экспонент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:02 


28/03/21
187
ozheredov в сообщении #1585407 писал(а):
Косинусы через реальную часть экспонент
ozheredov
Что значит реальную? В смысле вещественную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
На синус домножить. И всё свернётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:29 
Аватара пользователя


11/02/21

136
TOTAL в сообщении #1585410 писал(а):
На синус домножить. И всё свернётся.

Именно.
Это даже я сообразила.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Gepidium в сообщении #1585405 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как можно вычислить такое конечное произведение: \prod \limits_{k=0}^{n}\cos{2^k}\alpha


Методом 18-го верблюда им. Ходжи Наср-эд-Дина. Умножить и поделить на синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 20:00 


28/03/21
187
TOTAL, Евгений Машеров
Я правильно поняла, что вы предлагаете многократное использование формулы синуса двойного угла: $\displaystyle \cos \alpha=\frac {\sin {2\alpha}}{2\sin {\alpha}}$.
Если так, то у меня всё срослось.
Получилось так: $\displaystyle \cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\frac {\sin {2^{n+1}\alpha}}{2^{n+1}\sin {\alpha}}$.
Так верно?
Тогда у меня к вам вопрос относительно оформления решения. Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение14.03.2023, 23:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Преподаватель поймёт, что использовался тот метод, который был задуман.
Можно ещё так написать:
$\cos {\alpha}\cos {2\alpha}\cos {4\alpha}\ldots \cos {2^n\alpha}=\dfrac{\sin 2\alpha}{2\sin\alpha} \dfrac{\sin 4\alpha}{2\sin 2\alpha} \dfrac{\sin 8\alpha}{2\sin 4\alpha} \ldots \dfrac{\sin 2^{n+1}\alpha}{2\sin 2^n\alpha}$
И объяснить, что все синусы сокращаются, кроме первого и последнего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое произведение
Сообщение15.03.2023, 00:05 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Gepidium в сообщении #1585428 писал(а):
Поскольку я построила эту формулу, должна ли я доказать получившееся тождество?
Я попробовала, это легко доказывается индукцией. Но есть ли в этом необходимость?
Gepidium
Если бы Вам было предложено в задании это тождество и ставилось задание доказать его - тогда Вы могли использовать индукцию или любой другой способ доказательства.
Но перед Вами изначально стояла задача вычислить сумму. И для получения суммы Вы использовали только равносильные преобразования. Поэтому я полагаю, что необходимости в доказательстве нет.

-- 15.03.2023, 01:48 --

(svv)

svv
Я смотрю, что для обыкновенных дробей Вы используете латехную команду \dfrac. А чем она отличается от обычной \frac?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group