2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Что-то я запутался с определением, когда функция дифференцируема, а когда нет. Рассмотрим функцию $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^4}$ . Дифференцируема ли эта функция в начале координат? Вспоминаю, что этот пример как-то на форуме обсуждался. Пришли к выводу, что функция дифференцируема. Пример рассмотрен так же в учебника анализа Тер-Крикорова и Шабунина (пар.26.2, стр.244, пример 1). Но у меня получается отсутствие дифференцируемости. Если предположить, что дифференциал (градиент) в нуле этой функции равен $\nabla f(0,0)=(1,0)$ , то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Но ведь это не так. Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .

(Оффтоп)

Поскольку я по натуре жаворонок и вечером соображаю крайне плохо, то на на форум вернусь только завтра утром. Прошу извинить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 22:51 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.
В данном случае, все частные производные существуют, более того существуют все производные по направлениям.
Но они не непрерывны. Функция не дифференцируема.

мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .


А если рассмотреть на кривой $(-x)^3=y^4$, то там будет ноль :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:15 


21/03/11
200
EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.

Я перефразировал вашу фразу и у меня получилось, что дифференцируемость функции нескольких переменных в точке эквивалентна ее непрерывной дифференцируемости в этой точке. Но это же не верно.
То что из непрерывной дифференцируемости следует дифференцируемость - это очевидно. Но обратное утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$
А как это у вас значение предела зависит от переменной, по которой берется предел?
Давайте просто по определению: если дифференцируема, то $f(x, y) = Ax + By + o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Понятно что $A = 1$, $B = 0$.
Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.
EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные
Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
give_up
Да, Вы правы. Это достаточное условие, но не необходимое :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
У этой функции существуют частные производные и градиент (вектор частных производных), кроме того эта функция дифференцируема в начале координат. Дифференцируемость проверяется проверкой равенства
$$\sqrt[3]{x^3+y^4}-x=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), \sqrt{x^2+y^2}\to0,$$ а это элементарно, если перейти к полярным координатам. Отсюда также видно, что $x^3=y^4$ или $x=y$ на самом деле не приводят ни к каким противоречиям.

А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 00:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
mihaild в сообщении #1585132 писал(а):
Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.
Там же 4-я степень, а не 3-я. Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Тут у меня опечатка. А в тетради у меня ошибка - я предполагал, что $\rho \sim x$ , что не выполняется на рассматриваемой кривой.

(Оффтоп)

Я же писал, что вечером соображаю плохо. Стоило выключить компьютер и в голове стало всё ясно. Но компьютер включать не стал. Предыдущие посты пока не читал. Сейчас прочту.


-- Вс мар 12, 2023 07:32:48 --

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1585137 писал(а):
Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

Полностью согласен. Причём свою ошибку я сразу нашёл в уме без ручки и бумаги. Стоило только отойти от компьютера. А я ещё удивлялся, как один товарищ у нас на форуме, которому ручку в руке держать трудно, занимается математикой. Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 07:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):
Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме

Давно заметил - если из писанины ничего хорошего не получается, надо лечь и закрыть глаза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Так, ошибку нашёл. А как же доказать дифференцируемость?
мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):
Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

После перехода к полярным координатам ( $\rho$ сокращается) получается вполне очевидный предел $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\rho \sin^4\varphi}-\cos \varphi \to 0$ при $\rho \to 0$ .

-- Вс мар 12, 2023 09:07:26 --

ShMaxG в сообщении #1585134 писал(а):
А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

А для этой функции вышеописанный предел вырождается в конкретное число $   \sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}-\cos \varphi - \sin\varphi $ , которое от $\rho$ вообще не зависит, а зато зависит от $\varphi$ и значит к нулю не стремится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 08:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
mihaild в сообщении #1585132 писал(а):
Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

Например для функции $f(x,y)=\sqrt[3]{x^2y^2}$ .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group