Дифференцируема ли функция?

[мат-ламер]

Что-то я запутался с определением, когда функция дифференцируема, а когда нет. Рассмотрим функцию $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^4}$ . Дифференцируема ли эта функция в начале координат? Вспоминаю, что этот пример как-то на форуме обсуждался. Пришли к выводу, что функция дифференцируема. Пример рассмотрен так же в учебника анализа Тер-Крикорова и Шабунина (пар.26.2, стр.244, пример 1). Но у меня получается отсутствие дифференцируемости. Если предположить, что дифференциал (градиент) в нуле этой функции равен $\nabla f(0,0)=(1,0)$ , то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Но ведь это не так. Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .

(Оффтоп)

Поскольку я по натуре жаворонок и вечером соображаю крайне плохо, то на на форум вернусь только завтра утром. Прошу извинить.

[EUgeneUS]

Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.
В данном случае, все частные производные существуют, более того существуют все производные по направлениям.
Но они не непрерывны. Функция не дифференцируема.

мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):

Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .

А если рассмотреть на кривой $(-x)^3=y^4$, то там будет ноль

[give_up]

EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):

Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.

Я перефразировал вашу фразу и у меня получилось, что дифференцируемость функции нескольких переменных в точке эквивалентна ее непрерывной дифференцируемости в этой точке. Но это же не верно.
То что из непрерывной дифференцируемости следует дифференцируемость - это очевидно. Но обратное утверждение неверно.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):

соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$

А как это у вас значение предела зависит от переменной, по которой берется предел?
Давайте просто по определению: если дифференцируема, то $f(x, y) = Ax + By + o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Понятно что $A = 1$, $B = 0$.
Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.

EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):

Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные

Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

[EUgeneUS]

give_up
Да, Вы правы. Это достаточное условие, но не необходимое

[ShMaxG]

У этой функции существуют частные производные и градиент (вектор частных производных), кроме того эта функция дифференцируема в начале координат. Дифференцируемость проверяется проверкой равенства

$$\sqrt[3]{x^3+y^4}-x=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), \sqrt{x^2+y^2}\to0,$$

а это элементарно, если перейти к полярным координатам. Отсюда также видно, что $x^3=y^4$ или $x=y$ на самом деле не приводят ни к каким противоречиям.

А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

[vpb]

mihaild в сообщении #1585132 писал(а):

Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.

Там же 4-я степень, а не 3-я. Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):

то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Тут у меня опечатка. А в тетради у меня ошибка - я предполагал, что $\rho \sim x$ , что не выполняется на рассматриваемой кривой.

(Оффтоп)

Я же писал, что вечером соображаю плохо. Стоило выключить компьютер и в голове стало всё ясно. Но компьютер включать не стал. Предыдущие посты пока не читал. Сейчас прочту.

-- Вс мар 12, 2023 07:32:48 --

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1585137 писал(а):

Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

Полностью согласен. Причём свою ошибку я сразу нашёл в уме без ручки и бумаги. Стоило только отойти от компьютера. А я ещё удивлялся, как один товарищ у нас на форуме, которому ручку в руке держать трудно, занимается математикой. Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме.

[bot]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):

Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме

Давно заметил - если из писанины ничего хорошего не получается, надо лечь и закрыть глаза.

[мат-ламер]

Так, ошибку нашёл. А как же доказать дифференцируемость?

мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):

Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

После перехода к полярным координатам ( $\rho$ сокращается) получается вполне очевидный предел $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\rho \sin^4\varphi}-\cos \varphi \to 0$ при $\rho \to 0$ .

-- Вс мар 12, 2023 09:07:26 --

ShMaxG в сообщении #1585134 писал(а):

А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

А для этой функции вышеописанный предел вырождается в конкретное число $ \sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}-\cos \varphi - \sin\varphi $ , которое от $\rho$ вообще не зависит, а зато зависит от $\varphi$ и значит к нулю не стремится.

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1585132 писал(а):

Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

Например для функции $f(x,y)=\sqrt[3]{x^2y^2}$ .