2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6594
Что-то я запутался с определением, когда функция дифференцируема, а когда нет. Рассмотрим функцию $f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^4}$ . Дифференцируема ли эта функция в начале координат? Вспоминаю, что этот пример как-то на форуме обсуждался. Пришли к выводу, что функция дифференцируема. Пример рассмотрен так же в учебника анализа Тер-Крикорова и Шабунина (пар.26.2, стр.244, пример 1). Но у меня получается отсутствие дифференцируемости. Если предположить, что дифференциал (градиент) в нуле этой функции равен $\nabla f(0,0)=(1,0)$ , то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Но ведь это не так. Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .

(Оффтоп)

Поскольку я по натуре жаворонок и вечером соображаю крайне плохо, то на на форум вернусь только завтра утром. Прошу извинить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 22:51 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.
В данном случае, все частные производные существуют, более того существуют все производные по направлениям.
Но они не непрерывны. Функция не дифференцируема.

мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
Если рассмотреть этот предел на кривой $x^3=y^4$, то он там равен $x\sqrt[3]{2}$ .


А если рассмотреть на кривой $(-x)^3=y^4$, то там будет ноль :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:15 


21/03/11
200
EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные.

Я перефразировал вашу фразу и у меня получилось, что дифференцируемость функции нескольких переменных в точке эквивалентна ее непрерывной дифференцируемости в этой точке. Но это же не верно.
То что из непрерывной дифференцируемости следует дифференцируемость - это очевидно. Но обратное утверждение неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$
А как это у вас значение предела зависит от переменной, по которой берется предел?
Давайте просто по определению: если дифференцируема, то $f(x, y) = Ax + By + o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Понятно что $A = 1$, $B = 0$.
Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.
EUgeneUS в сообщении #1585124 писал(а):
Для дифференцируемости функции нескольких переменных необходимо и достаточно, чтобы существовали и были непрерывными все частные производные
Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
give_up
Да, Вы правы. Это достаточное условие, но не необходимое :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение11.03.2023, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
У этой функции существуют частные производные и градиент (вектор частных производных), кроме того эта функция дифференцируема в начале координат. Дифференцируемость проверяется проверкой равенства
$$\sqrt[3]{x^3+y^4}-x=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), \sqrt{x^2+y^2}\to0,$$ а это элементарно, если перейти к полярным координатам. Отсюда также видно, что $x^3=y^4$ или $x=y$ на самом деле не приводят ни к каким противоречиям.

А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 00:00 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
mihaild в сообщении #1585132 писал(а):
Проверяем: $\sqrt[3]{x^3 + y^4} - x = o(\sqrt{x^2 + y^2})$. Подставляем $x = y = t$, получаем $\sqrt[3]{2x^3} - x = x \cdot \sqrt[3]{2} \neq o(|x|)$.
Там же 4-я степень, а не 3-я. Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6594
мат-ламер в сообщении #1585120 писал(а):
то тогда должно выполняться соотношение $\lim \sqrt[3]{x^3+y^4}=x$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ . Тут у меня опечатка. А в тетради у меня ошибка - я предполагал, что $\rho \sim x$ , что не выполняется на рассматриваемой кривой.

(Оффтоп)

Я же писал, что вечером соображаю плохо. Стоило выключить компьютер и в голове стало всё ясно. Но компьютер включать не стал. Предыдущие посты пока не читал. Сейчас прочту.


-- Вс мар 12, 2023 07:32:48 --

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1585137 писал(а):
Поистине, вся тема --- иллюстрация к тому, что утро вечера мудренее.

Полностью согласен. Причём свою ошибку я сразу нашёл в уме без ручки и бумаги. Стоило только отойти от компьютера. А я ещё удивлялся, как один товарищ у нас на форуме, которому ручку в руке держать трудно, занимается математикой. Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 07:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):
Оказывается кое-что можно представлять перед собой в уме

Давно заметил - если из писанины ничего хорошего не получается, надо лечь и закрыть глаза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6594
Так, ошибку нашёл. А как же доказать дифференцируемость?
мат-ламер в сообщении #1585145 писал(а):
Точнее говоря, должно выполняться соотношение $\lim \frac{\sqrt[3]{x^3+y^4}-x}{\rho}=0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$ .

После перехода к полярным координатам ( $\rho$ сокращается) получается вполне очевидный предел $\sqrt[3]{\cos^3\varphi+\rho \sin^4\varphi}-\cos \varphi \to 0$ при $\rho \to 0$ .

-- Вс мар 12, 2023 09:07:26 --

ShMaxG в сообщении #1585134 писал(а):
А вот если было бы $\sqrt[3]{x^3+y^3}$, то да, функция была бы недифференцируема.

А для этой функции вышеописанный предел вырождается в конкретное число $   \sqrt[3]{\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}-\cos \varphi - \sin\varphi $ , которое от $\rho$ вообще не зависит, а зато зависит от $\varphi$ и значит к нулю не стремится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируема ли функция?
Сообщение12.03.2023, 08:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6594
mihaild в сообщении #1585132 писал(а):
Вообще говоря, частные производные в окрестности могут даже не существовать.

Например для функции $f(x,y)=\sqrt[3]{x^2y^2}$ .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group