Иногда интеграл Лебега (над
) определяют через "измеримые разбиения".
Измеримое разбиение интервала
есть семейство множеств
, такое что
1) каждое
является измеримым множеством,
2)
,
3)
для
, где
- мера Лебега.
Как обычно, верхние и нижние суммы для ограниченной функции
на интервала
и измеримого разбиения
на этом интервале определяются как
, где
,
, где
.
Кроме того, если
и
являются измеримыми разбиениями интервала
, то
является уточнением
, если для каждого
, существует
, такое что
.
Далее, для установления свойств интеграла требуется доказать обычные технические неравенства - если
является уточнением
, то
и
.
Как это сделать ?
Похоже, что надо воспользоваться равенством
, где
.
Но как доказать это равенство, в частности, что
?