2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение08.03.2023, 19:16 


30/01/08
45
Иногда интеграл Лебега (над $\mathbb{R}$) определяют через "измеримые разбиения".
Измеримое разбиение интервала $[a,b]$ есть семейство множеств $P=\left\lbrace E_{j}\right\rbrace_{j=1}^{n}$, такое что
1) каждое $E_{j}$ является измеримым множеством,
2) $\cup_{j=1}^{n} E_{j} = [a,b]$,
3) $m ( E_{i} \cap E_{j} ) = 0$ для $i \ne j$, где $m$ - мера Лебега.
Как обычно, верхние и нижние суммы для ограниченной функции $f$ на интервала $[a,b]$ и измеримого разбиения $P$ на этом интервале определяются как
$U[f,P] = \Sigma_{j=1}^{n} M_{j} m(E_{j}) $, где $M_{j}= sup_{x\in E_{j}} f(x)$,
$L[f,P] = \Sigma_{j=1}^{n} m_{j} m(E_{j}) $, где $m_{j}= inf_{x\in E_{j}} f(x)$.
Кроме того, если $P = \left\lbrace E_{j} \right\rbrace_{j=1}^{n}$ и $P^{*} = \left\lbrace F_{k}\right\rbrace _{k=1}^{m}$ являются измеримыми разбиениями интервала $[a,b]$, то
$P^{*}$ является уточнением $P$, если для каждого $k$, существует $j$, такое что $F_{k} \subseteq E_{j}$.
Далее, для установления свойств интеграла требуется доказать обычные технические неравенства - если $P^{*}$ является уточнением $P$, то
$L [f,P] \leqslant L [f,P^{*}$ и
$U [f,P^{*}] \leqslant U[f,P]$.
Как это сделать ?
Похоже, что надо воспользоваться равенством
$m(E_{j}) = \sum\limits_{k\in I_{j}}^{}m(F_{k})$, где $I_{j}= \left\lbrace k | F_{k} \subseteq E_{j} \right\rbrace$.
Но как доказать это равенство, в частности, что
$m(E_{j}) \leqslant \sum\limits_{k\in I_{j}}^{}m(F_{k})$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение08.03.2023, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Так мы имеем просто $E_j = \bigcup\limits_{k | F_k \subseteq E_j} F_k$.
Если $x$ справа, то $x \in F_k \subseteq E_j$, значит $x$ и слева.
Если $x$ слева, то $x \in F_i$ для какого-то $i$ (т.к. $\cup_i F_i = [a, b]$), $F_i \subseteq E_p$ для какого-то $p$, причем $x \in E_j \cap E_p$, так что $p = j$.

(Оффтоп)

Точно "уточнение", а не "утончение"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение08.03.2023, 20:04 


30/01/08
45
mihaild в сообщении #1584869 писал(а):
причем $x \in E_j \cap E_p$, так что $p = j$.

Если $x \in E_{j} \cap E_{p}$, то это не значит, что $p=j$.
Пример: $E_{1}=[ 0,  0.5],  E_{2}= [ 0.5,  1] \cup \left\lbrace0.4\right\rbrace$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение08.03.2023, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
А, Вы разрешаете им пересекаться по множествам нулевой меры.
Ну неважно, выкиньте из отрекза все попарные пересечения $E_j$ и все попарные пересечения $F_k$, для того что останется рассуждение выше проходит, и получим что $E_j = \left(\bigcup_{k | F_k \subseteq E_j} F_k \right)\triangle T$, где $T$ - некоторое подмножество объединения попарных пересечений, и значит имеет нулевую меру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение08.03.2023, 23:44 


30/01/08
45
mihaild в сообщении #1584875 писал(а):
выкиньте из отрекза все попарные пересечения $E_j$

1) Что значит "выкинуть из отрезка все попарные пересечения" ? Тогда отрезок может перестать быть отрезком - здесь нужны более точные формулировки ...
2) Если из множеств $E_{j}$ построить новую систему уже непересекающихся $E_{j}^{'}$, то для этого последнего разбиения нужнo как-то переформулировать условие $\forall k \exists j F_{k} \subseteq E_{j}$.
3)
mihaild в сообщении #1584875 писал(а):
$T$ - некоторое подмножество объединения попарных пересечений

Каких конкретно пересечений ?
Я , в принципе, про то и спрашивал - если мы хотим показать, что
$m(E_{j}) = \sum\limits_{k|F_{k}\subseteq E_{j}}^{} m(F_{k})$,
то нам надо показать, что $m ( E_{j} \backslash \bigcup\limits_{k|F_{k} \subseteq E_{j}}^{} F_{k} ) = 0 $.
Только я не знаю, как это сделать.
4) Аналогичный вопрос уже задавали здесь - https://math.stackexchange.com/question ... e-integral ,
но оба ответа там очень неясные.
5) Я воспользовался словом "уточнение" в качестве перевода английского "refinement".

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение09.03.2023, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
YuryS в сообщении #1584894 писал(а):
Тогда отрезок может перестать быть отрезком - здесь нужны более точные формулировки
А нам никакие свойства отрезка, кроме измеримости, и не нужны были. А измеримым множеством он от этого быть не перестанет.
YuryS в сообщении #1584894 писал(а):
то для этого последнего разбиения нужнo как-то переформулировать условие $\forall k \exists j F_{k} \subseteq E_{j}$
Из $F_j$ тоже их выкинуть.
Ну пусть $X = \cup_i \cup_{j \neq i} (E_i \cap E_j \cup F_i \cap F_j)$. $m(X) = 0$.
Скажем, что $E_i' = E_i \setminus X$, $F_i' = F_i \setminus X$. Тогда E_i' и $F_i'$ - разбиения $[0, 1] \setminus X$, и второе является уточнением первого. Причем тут уже элементы разбиения не пересекаются, поэтому проходит мое рассуждение выше.
А дальше имеем $E_j \setminus \cup_{k \in K} F_k = (E_j' \setminus \cup_{k \in K} F_k') \cup (E_j \setminus E_j') \setminus (\cup_{k \in K} F_k')$. Тут первое подмножество имеет нулевую меру по доказанному, а второе - как подмножества множества нулевой меры $X$.
YuryS в сообщении #1584894 писал(а):
Аналогичный вопрос уже задавали здесь - https://math.stackexchange.com/question ... e-integral , но оба ответа там очень неясные
Там спрашивали про эквивалентность этого определения интеграла Лебега стандартному, и ответы вполне нормальные для людей, которые с этой областью уже знакомы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые (по Лебегу) разбиения
Сообщение09.03.2023, 16:26 


30/01/08
45
mihaild в сообщении #1584896 писал(а):
А дальше имеем $E_j \setminus \cup_{k \in K} F_k = (E_j' \setminus \cup_{k \in K} F_k') \cup (E_j \setminus E_j') \setminus (\cup_{k \in K} F_k')$

Да, спасибо. Здесь только нужно отметить, чтобы эта запись выглядела корректно, что $\bigcup\limits_{k}^{} F_{k} = \bigcup\limits_{k}^{} F_{k}^{'}$,
а также можно еще заметить, что $E_{j}^{'} \backslash \bigcup\limits_{k}^{} F_{k}^{'}$ есть просто пустое множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group