Измеримые (по Лебегу) разбиения

[YuryS]

Иногда интеграл Лебега (над $\mathbb{R}$) определяют через "измеримые разбиения".
Измеримое разбиение интервала $[a,b]$ есть семейство множеств $P=\left\lbrace E_{j}\right\rbrace_{j=1}^{n}$, такое что
1) каждое $E_{j}$ является измеримым множеством,
2) $\cup_{j=1}^{n} E_{j} = [a,b]$,
3) $m ( E_{i} \cap E_{j} ) = 0$ для $i \ne j$, где $m$ - мера Лебега.
Как обычно, верхние и нижние суммы для ограниченной функции $f$ на интервала $[a,b]$ и измеримого разбиения $P$ на этом интервале определяются как
$U[f,P] = \Sigma_{j=1}^{n} M_{j} m(E_{j}) $, где $M_{j}= sup_{x\in E_{j}} f(x)$,
$L[f,P] = \Sigma_{j=1}^{n} m_{j} m(E_{j}) $, где $m_{j}= inf_{x\in E_{j}} f(x)$.
Кроме того, если $P = \left\lbrace E_{j} \right\rbrace_{j=1}^{n}$ и $P^{*} = \left\lbrace F_{k}\right\rbrace _{k=1}^{m}$ являются измеримыми разбиениями интервала $[a,b]$, то
$P^{*}$ является уточнением $P$, если для каждого $k$, существует $j$, такое что $F_{k} \subseteq E_{j}$.
Далее, для установления свойств интеграла требуется доказать обычные технические неравенства - если $P^{*}$ является уточнением $P$, то
$L [f,P] \leqslant L [f,P^{*}$ и
$U [f,P^{*}] \leqslant U[f,P]$.
Как это сделать ?
Похоже, что надо воспользоваться равенством
$m(E_{j}) = \sum\limits_{k\in I_{j}}^{}m(F_{k})$, где $I_{j}= \left\lbrace k | F_{k} \subseteq E_{j} \right\rbrace$.
Но как доказать это равенство, в частности, что
$m(E_{j}) \leqslant \sum\limits_{k\in I_{j}}^{}m(F_{k})$ ?

[mihaild]

Так мы имеем просто $E_j = \bigcup\limits_{k | F_k \subseteq E_j} F_k$.
Если $x$ справа, то $x \in F_k \subseteq E_j$, значит $x$ и слева.
Если $x$ слева, то $x \in F_i$ для какого-то $i$ (т.к. $\cup_i F_i = [a, b]$), $F_i \subseteq E_p$ для какого-то $p$, причем $x \in E_j \cap E_p$, так что $p = j$.

(Оффтоп)

Точно "уточнение", а не "утончение"?

[YuryS]

mihaild в сообщении #1584869 писал(а):

причем $x \in E_j \cap E_p$, так что $p = j$.

Если $x \in E_{j} \cap E_{p}$, то это не значит, что $p=j$.
Пример: $E_{1}=[ 0, 0.5], E_{2}= [ 0.5, 1] \cup \left\lbrace0.4\right\rbrace$.

[mihaild]

А, Вы разрешаете им пересекаться по множествам нулевой меры.
Ну неважно, выкиньте из отрекза все попарные пересечения $E_j$ и все попарные пересечения $F_k$, для того что останется рассуждение выше проходит, и получим что $E_j = \left(\bigcup_{k | F_k \subseteq E_j} F_k \right)\triangle T$, где $T$ - некоторое подмножество объединения попарных пересечений, и значит имеет нулевую меру.

[YuryS]

mihaild в сообщении #1584875 писал(а):

выкиньте из отрекза все попарные пересечения $E_j$

1) Что значит "выкинуть из отрезка все попарные пересечения" ? Тогда отрезок может перестать быть отрезком - здесь нужны более точные формулировки ...
2) Если из множеств $E_{j}$ построить новую систему уже непересекающихся $E_{j}^{'}$, то для этого последнего разбиения нужнo как-то переформулировать условие $\forall k \exists j F_{k} \subseteq E_{j}$.
3)

mihaild в сообщении #1584875 писал(а):

$T$ - некоторое подмножество объединения попарных пересечений

Каких конкретно пересечений ?
Я , в принципе, про то и спрашивал - если мы хотим показать, что
$m(E_{j}) = \sum\limits_{k|F_{k}\subseteq E_{j}}^{} m(F_{k})$,
то нам надо показать, что $m ( E_{j} \backslash \bigcup\limits_{k|F_{k} \subseteq E_{j}}^{} F_{k} ) = 0 $.
Только я не знаю, как это сделать.
4) Аналогичный вопрос уже задавали здесь - https://math.stackexchange.com/question ... e-integral ,
но оба ответа там очень неясные.
5) Я воспользовался словом "уточнение" в качестве перевода английского "refinement".

[mihaild]

YuryS в сообщении #1584894 писал(а):

Тогда отрезок может перестать быть отрезком - здесь нужны более точные формулировки

А нам никакие свойства отрезка, кроме измеримости, и не нужны были. А измеримым множеством он от этого быть не перестанет.

YuryS в сообщении #1584894 писал(а):

то для этого последнего разбиения нужнo как-то переформулировать условие $\forall k \exists j F_{k} \subseteq E_{j}$

Из $F_j$ тоже их выкинуть.
Ну пусть $X = \cup_i \cup_{j \neq i} (E_i \cap E_j \cup F_i \cap F_j)$. $m(X) = 0$.
Скажем, что $E_i' = E_i \setminus X$, $F_i' = F_i \setminus X$. Тогда E_i' и $F_i'$ - разбиения $[0, 1] \setminus X$, и второе является уточнением первого. Причем тут уже элементы разбиения не пересекаются, поэтому проходит мое рассуждение выше.
А дальше имеем $E_j \setminus \cup_{k \in K} F_k = (E_j' \setminus \cup_{k \in K} F_k') \cup (E_j \setminus E_j') \setminus (\cup_{k \in K} F_k')$. Тут первое подмножество имеет нулевую меру по доказанному, а второе - как подмножества множества нулевой меры $X$.

YuryS в сообщении #1584894 писал(а):

Аналогичный вопрос уже задавали здесь - https://math.stackexchange.com/question ... e-integral , но оба ответа там очень неясные

Там спрашивали про эквивалентность этого определения интеграла Лебега стандартному, и ответы вполне нормальные для людей, которые с этой областью уже знакомы.

[YuryS]

mihaild в сообщении #1584896 писал(а):

А дальше имеем $E_j \setminus \cup_{k \in K} F_k = (E_j' \setminus \cup_{k \in K} F_k') \cup (E_j \setminus E_j') \setminus (\cup_{k \in K} F_k')$

Да, спасибо. Здесь только нужно отметить, чтобы эта запись выглядела корректно, что $\bigcup\limits_{k}^{} F_{k} = \bigcup\limits_{k}^{} F_{k}^{'}$,
а также можно еще заметить, что $E_{j}^{'} \backslash \bigcup\limits_{k}^{} F_{k}^{'}$ есть просто пустое множество.