Линии уровня решения уравнения теплопроводности

[thething]

Добрый день. Задача с олимпиады по уравнениям в частных производных. Может ли решение уравнения теплопроводности $u_t=u_{xx}$ иметь такую линию уровня?

Собственно, предлагаемая линия уровня во вложении. Первая мысль -- ведь принцип максимума можно доказать для круга, там цилиндричность не принципиальна. Ну, не будет верхней крышки -- и только. Потому, раз на окружности функция нулевая, то она нулевая и всюду внутри круга, т.е. ответ отрицательный. Но смущает наличие вертикального отрезка в условии. Да и олимпиадность смущает, если всё так просто. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Там ещё есть задачи на линии уровня, вызывающие вопросы, но я думаю публиковать их по мере иссякания собственных мыслей по решению.

[krum]

Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность. Но, ведь, в конце концов, можно даже и о теплопроводности не думать. Есть же общий факт (пардон за ссылку на себя) теорема 1
https://files.catbox.moe/1hitkw.pdf

[thething]

krum в сообщении #1584440 писал(а):

Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность.

Там ещё за эту задачу чуть ли не наибольшее число очков давали))

Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок. Ничего лучше, чем решить краевую задачу в первом случае в голову не приходит, но она даёт и нулевое решение при $x=0$. Во втором тоже нет толковых идей. Кажется, что как-то надо сыграть на аналитичности по времени, но вот только откуда бы её взять?

[krum]

простите, мы с первой задачей закончили?

-- 05.03.2023, 19:19 --

thething в сообщении #1584460 писал(а):

Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок.

хорошо бы вснетаки сформулировать задачу независимо от первого поста

[thething]

krum в сообщении #1584462 писал(а):

простите, мы с первой задачей закончили?

Обсуждение приветствуется. Давайте назовём их первая, вторая и третья. Больше не будет. В первой, кроме применения принципа максимума, я не вижу других подходов.

[krum]

thething в сообщении #1584466 писал(а):

Обсуждение приветствуется.

Хорошо, обсуждайте. Желаю успеха.

[thething]

krum в сообщении #1584468 писал(а):

Хорошо, обсуждайте.

Спасибо, что разрешили.

krum в сообщении #1584468 писал(а):

Желаю успеха.

Обратно, спасибо!