2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Добрый день. Задача с олимпиады по уравнениям в частных производных. Может ли решение уравнения теплопроводности $u_t=u_{xx}$ иметь такую линию уровня?

Собственно, предлагаемая линия уровня во вложении. Первая мысль -- ведь принцип максимума можно доказать для круга, там цилиндричность не принципиальна. Ну, не будет верхней крышки -- и только. Потому, раз на окружности функция нулевая, то она нулевая и всюду внутри круга, т.е. ответ отрицательный. Но смущает наличие вертикального отрезка в условии. Да и олимпиадность смущает, если всё так просто. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Там ещё есть задачи на линии уровня, вызывающие вопросы, но я думаю публиковать их по мере иссякания собственных мыслей по решению.


Вложения:
Screenshot_12.jpg
Screenshot_12.jpg [ 3.42 Кб | Просмотров: 650 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 17:06 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность. Но, ведь, в конце концов, можно даже и о теплопроводности не думать. Есть же общий факт (пардон за ссылку на себя) теорема 1
https://files.catbox.moe/1hitkw.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584440 писал(а):
Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность.

Там ещё за эту задачу чуть ли не наибольшее число очков давали))

Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок. Ничего лучше, чем решить краевую задачу в первом случае в голову не приходит, но она даёт и нулевое решение при $x=0$. Во втором тоже нет толковых идей. Кажется, что как-то надо сыграть на аналитичности по времени, но вот только откуда бы её взять?


Вложения:
Screenshot_1.jpg
Screenshot_1.jpg [ 7.23 Кб | Просмотров: 547 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:13 
Аватара пользователя


11/11/22
304
простите, мы с первой задачей закончили?

-- 05.03.2023, 19:19 --

thething в сообщении #1584460 писал(а):
Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок.

хорошо бы вснетаки сформулировать задачу независимо от первого поста

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584462 писал(а):
простите, мы с первой задачей закончили?

Обсуждение приветствуется. Давайте назовём их первая, вторая и третья. Больше не будет. В первой, кроме применения принципа максимума, я не вижу других подходов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:29 
Аватара пользователя


11/11/22
304
thething в сообщении #1584466 писал(а):
Обсуждение приветствуется.

Хорошо, обсуждайте. Желаю успеха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584468 писал(а):
Хорошо, обсуждайте.

Спасибо, что разрешили.
krum в сообщении #1584468 писал(а):
Желаю успеха.

Обратно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group