2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Добрый день. Задача с олимпиады по уравнениям в частных производных. Может ли решение уравнения теплопроводности $u_t=u_{xx}$ иметь такую линию уровня?

Собственно, предлагаемая линия уровня во вложении. Первая мысль -- ведь принцип максимума можно доказать для круга, там цилиндричность не принципиальна. Ну, не будет верхней крышки -- и только. Потому, раз на окружности функция нулевая, то она нулевая и всюду внутри круга, т.е. ответ отрицательный. Но смущает наличие вертикального отрезка в условии. Да и олимпиадность смущает, если всё так просто. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Там ещё есть задачи на линии уровня, вызывающие вопросы, но я думаю публиковать их по мере иссякания собственных мыслей по решению.


Вложения:
Screenshot_12.jpg
Screenshot_12.jpg [ 3.42 Кб | Просмотров: 652 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 17:06 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность. Но, ведь, в конце концов, можно даже и о теплопроводности не думать. Есть же общий факт (пардон за ссылку на себя) теорема 1
https://files.catbox.moe/1hitkw.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584440 писал(а):
Меня тоже смущает линия внутри и олимпиадность.

Там ещё за эту задачу чуть ли не наибольшее число очков давали))

Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок. Ничего лучше, чем решить краевую задачу в первом случае в голову не приходит, но она даёт и нулевое решение при $x=0$. Во втором тоже нет толковых идей. Кажется, что как-то надо сыграть на аналитичности по времени, но вот только откуда бы её взять?


Вложения:
Screenshot_1.jpg
Screenshot_1.jpg [ 7.23 Кб | Просмотров: 549 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:13 
Аватара пользователя


11/11/22
304
простите, мы с первой задачей закончили?

-- 05.03.2023, 19:19 --

thething в сообщении #1584460 писал(а):
Ещё вот такая пара, по которой ничего толком не придумалось. То же самое уравнение, но на множестве $t\ge0$, $x\in[0,\pi]$. В первом случае -- два параллельных луча: $x=\pi$ и, скажем, $x=\dfrac{\pi}{2}$, а во втором случае вместо одного луча отрезок.

хорошо бы вснетаки сформулировать задачу независимо от первого поста

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584462 писал(а):
простите, мы с первой задачей закончили?

Обсуждение приветствуется. Давайте назовём их первая, вторая и третья. Больше не будет. В первой, кроме применения принципа максимума, я не вижу других подходов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:29 
Аватара пользователя


11/11/22
304
thething в сообщении #1584466 писал(а):
Обсуждение приветствуется.

Хорошо, обсуждайте. Желаю успеха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линии уровня решения уравнения теплопроводности
Сообщение05.03.2023, 19:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
krum в сообщении #1584468 писал(а):
Хорошо, обсуждайте.

Спасибо, что разрешили.
krum в сообщении #1584468 писал(а):
Желаю успеха.

Обратно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gevin Magnus, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group