Показать, что многочлены равны на точках кривой

[Without Name]

Пусть $P(x,y)=x^2 + xy+1$. Рассмотрим два многочлена $f(x,y)=x^2$ и $g(x,y)=2x^2+xy+1$. Показать, что если $(a,b) \in V(P)$, тогда $F(a,b)=g(a,b)$.

Предположим, что на точках кривой $P$ многочлены $f$ и $g$ равны, тогда их разность равна нулю. Я рассмотрел эту разность $g - f = (2x^2 + xy + 1 - x^2)(a, b) = (x^2 + xy + 1)(a, b) = P(a, b) = 0$, тогда $f=g$ в точке $(a, b)$.
Получается просто. Я не ошибся?
В чем интуитивный смысл такого определения многочленов на точках кривой? Получается нечто сравнения по модулю, где два многочлена, определенные на точках кривой, сравнимы или эквивалентны, если их разность принадлежит идеалу аффинного многообразия, на котором они определены?

[vpb]

Without Name в сообщении #1584277 писал(а):

Получается просто. Я не ошибся?

Нет, не ошиблись. Это действительно простейший вопрос, на понимание определений и обозначений.

Without Name в сообщении #1584277 писал(а):

В чем интуитивный смысл такого определения многочленов на точках кривой?

Тут значение многочлена на точке плоскости определяется не каким-то особым образом, а обычным, как в аналитической геометрии или вообще в школе классе в 8-м, когда уравнение окружности проходят. Более глубокого смысла тут нет.

Without Name в сообщении #1584277 писал(а):

Получается нечто сравнения по модулю, где два многочлена, определенные на точках кривой, сравнимы или эквивалентны, если их разность принадлежит идеалу аффинного многообразия, на котором они определены?

Правильнее сказать "если два многочлена сравнимы по модулю идеала, определяющего кривую, то их значения в любой точке кривой совпадают".

[Without Name]

Цитата:

Тут значение многочлена на точке плоскости определяется не каким-то особым образом, а обычным, как в аналитической геометрии или вообще в школе классе в 8-м, когда уравнение окружности проходят. Более глубокого смысла тут нет.

Это упражнение перед тем, как дается определение кольца регулярных функций и координатного кольца. В чем интуитивный смысл этих двух последних понятий? Для чего понадобилось определять многочлены на точках кривой?

[vpb]

В чем интуитивный смысл какого-то понятия --- это вообще туманный вопрос. Так что я, собственно, не могу ответить. Могу только сообщить, что у разных кривых, даже в пространствах разной размерности, могут быть изоморфные координатные кольца, и в таком случае кривые сами, в некотором точно определенном смысле, изоморфны. Короче, понятие это полезное. Со временем узнаете.

(Оффтоп)

Тут некий персонаж, возможно, сейчас бы начал начал задвигать про категории. Но мы ему не будем уподобляться. Хотя это как раз тот случай, когда категорная точка зрения полезна. Но сейчас, думаю, вам в том пользы не будет.