2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показать, что многочлены равны на точках кривой
Сообщение04.03.2023, 18:06 
Аватара пользователя


03/01/23
57
Пусть $P(x,y)=x^2 + xy+1$. Рассмотрим два многочлена $f(x,y)=x^2$ и $g(x,y)=2x^2+xy+1$. Показать, что если $(a,b) \in V(P)$, тогда $F(a,b)=g(a,b)$.

Предположим, что на точках кривой $P$ многочлены $f$ и $g$ равны, тогда их разность равна нулю. Я рассмотрел эту разность $g - f = (2x^2 + xy + 1 - x^2)(a, b) = (x^2 + xy + 1)(a, b) = P(a, b) = 0$, тогда $f=g$ в точке $(a, b)$.
Получается просто. Я не ошибся?
В чем интуитивный смысл такого определения многочленов на точках кривой? Получается нечто сравнения по модулю, где два многочлена, определенные на точках кривой, сравнимы или эквивалентны, если их разность принадлежит идеалу аффинного многообразия, на котором они определены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что многочлены равны на точках кривой
Сообщение04.03.2023, 22:57 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Without Name в сообщении #1584277 писал(а):
Получается просто. Я не ошибся?
Нет, не ошиблись. Это действительно простейший вопрос, на понимание определений и обозначений.
Without Name в сообщении #1584277 писал(а):
В чем интуитивный смысл такого определения многочленов на точках кривой?
Тут значение многочлена на точке плоскости определяется не каким-то особым образом, а обычным, как в аналитической геометрии или вообще в школе классе в 8-м, когда уравнение окружности проходят. Более глубокого смысла тут нет.
Without Name в сообщении #1584277 писал(а):
Получается нечто сравнения по модулю, где два многочлена, определенные на точках кривой, сравнимы или эквивалентны, если их разность принадлежит идеалу аффинного многообразия, на котором они определены?
Правильнее сказать "если два многочлена сравнимы по модулю идеала, определяющего кривую, то их значения в любой точке кривой совпадают".

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что многочлены равны на точках кривой
Сообщение04.03.2023, 23:01 
Аватара пользователя


03/01/23
57
Цитата:
Тут значение многочлена на точке плоскости определяется не каким-то особым образом, а обычным, как в аналитической геометрии или вообще в школе классе в 8-м, когда уравнение окружности проходят. Более глубокого смысла тут нет.

Это упражнение перед тем, как дается определение кольца регулярных функций и координатного кольца. В чем интуитивный смысл этих двух последних понятий? Для чего понадобилось определять многочлены на точках кривой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что многочлены равны на точках кривой
Сообщение04.03.2023, 23:35 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
В чем интуитивный смысл какого-то понятия --- это вообще туманный вопрос. Так что я, собственно, не могу ответить. Могу только сообщить, что у разных кривых, даже в пространствах разной размерности, могут быть изоморфные координатные кольца, и в таком случае кривые сами, в некотором точно определенном смысле, изоморфны. Короче, понятие это полезное. Со временем узнаете.

(Оффтоп)

Тут некий персонаж, возможно, сейчас бы начал начал задвигать про категории. Но мы ему не будем уподобляться. Хотя это как раз тот случай, когда категорная точка зрения полезна. Но сейчас, думаю, вам в том пользы не будет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group