Нужно сделать задачу доступной для школьников

[WinterPrimat]

Задача:
Есть металлический диск радиуса $R$. Он катится со скоростью $v$. Не скользит. Нужно найти геом. место точек на диске, что имеют скорость $v$.
Я решил задачу и получил ответ. (Дуга радиуса $R$ с центром в точке касания диска и поверхности).
Но решение получилось очень сложное. Само решение не привожу, так как, вероятно, нужно вообще другой метод использовать. Да и вообще, оно весьма длинное.
Даже ответ получлся в такой форме:
$\left(-R\sin{t};R\left(\cos{t}-1\right)\right);t\in \left[0,\frac{\pi}{3}\right]\cup \left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$
Ну и решение, понятно, почти что не школьного уровня.
Как такую задачу решать школьнику (абитуриенту)?
Спасибо.

[мат-ламер]

WinterPrimat в сообщении #1584263 писал(а):

Как такую задачу решать школьнику

Для школьника наверное может быть понятным идея о мгновенном центре вращения, который располагается в точке касания диска с поверхностью. Но я не в курсе, насколько эта идея представлена в учебниках. Может это в школе ещё не проходят.

[WinterPrimat]

мат-ламер в сообщении #1584264 писал(а):

Для школьника наверное может быть понятным идея о мгновенном центре вращения

По-моему, в учебнике такого нет. Спасибо. Поищу информацию, почитаю.
...Вот такое и получается, когда учитель математики решает заново изучить физику ...

[sergey zhukov]

WinterPrimat
Да, пожалуй проще мгновенного центра вращения ничего не придумаешь. Любое движение твердого тела в любой момент времени может быть представлено вращением вокруг некоторой точки (мгновенный центр вращения).

[revos]

Решить эту задачу можно, но оформить решение мне на этом сайте трудно .
"LaTeX"- академию не кончал ( на параллельном сайте я бы вляпал изображение листа с решением)
Скорость любой точки диска - векторная сумма скорости поступательного движения диска, вектора
V, направленного горизонтально, и вектора скорости вращательного движения Vвр =V*r/R , где r- расстояние от рассматриваемой точки диска до его центра , направленного перпендикулярно вектору r. Их результирующий вектор должен быть равен V ( по модулю). [Кстати в вашем ответе фигурирует только -R, то есть рассматриваются точки только на ободе диска. Нужно более общее исследование]

[Mikhail_K]

revos

(Оффтоп)

revos в сообщении #1584342 писал(а):

"LaTeX"- академию не кончал

Что же мешает это сделать? Освоить LaTeX можно за один или два дня (а в объёме, необходимом для написания формул из Вашего сообщения - за несколько минут). Это только кажется, что долго и сложно - а на самом деле надо только взяться, погуглить как пишутся простейшие формулы, потренироваться - и всё.

[WinterPrimat]

revos в сообщении #1584342 писал(а):

фигурирует только -R, то есть рассматриваются точки только на ободе диска

Нет. Если центр диска принять за начало координат, то в моем решении учтен не только обод диска.
Линк на скриншот: https://prnt.sc/buYfKb3zXW03

[zykov]

sergey zhukov в сообщении #1584268 писал(а):

Любое движение твердого тела в любой момент времени может быть представлено вращением вокруг некоторой точки (мгновенный центр вращения).

Либо просто поступательное движение при отсутствии какого-либо вращения.

[Ende]

revos в сообщении #1584342 писал(а):

Решить эту задачу можно, но оформить решение мне на этом сайте трудно .
"LaTeX"- академию не кончал ( на параллельном сайте я бы вляпал изображение листа с решением)
Скорость любой точки диска - векторная сумма скорости поступательного движения диска, вектора
V, направленного горизонтально, и вектора скорости вращательного движения Vвр =V*r/R , где r- расстояние от рассматриваемой точки диска до его центра , направленного перпендикулярно вектору r.

Ну и что сложного Вы видите в том, чтобы набрать следующее?

$V_\text{вр} = V \dfrac r R$

Получится
$V_\text{вр} =V \dfrac r R$

[gevaraweb]

WinterPrimat в сообщении #1584263 писал(а):

Как такую задачу решать школьнику (абитуриенту)?

А мне кажется, что задача считается почти очевидной для школьника.

мат-ламер в сообщении #1584264 писал(а):

мгновенном центре вращения

Школьник слышал про мгновенную скорость. И видимо должен сообразить, что самая скорость в точке соприкосновения с землей равна в точности v. А потом - что скорость всех точек на ободе одинакова.

WinterPrimat в сообщении #1584263 писал(а):

Даже ответ получился в такой форме:

И ответ, соответственно - геом. место точек - это окружность = граница колеса.

[sergey zhukov]

gevaraweb
Скорость точки колеса в точке соприкосновения с землей равна нулю. Практика показывает, что эта задача не только школьникам не очевидна.

-- 05.03.2023, 13:02 --

zykov
Это можно рассматривать, как частный случай - бесконечно удаленный центр мгновенного вращения.

Вообще, это понятие (мгновенный центр вращения) применимо только для двумерного случая. Для трехмерного, скажем, уже нужно говорить о мгновенной оси вращения, причем одним вращением вокруг этой оси не обойдешься. Нужно еще и поступательное движение вдоль этой оси учитывать. В плоском случае просто ясно, что ось вращения всегда перпендикулярна плоскости (вырождается в точку), а движения вдоль этой оси в двумерном случае быть не может.

[revos]

.

-- 05.03.2023, 13:13 --

$\vec{ \mathsf{V} } = \vec{ \mathsf{V} }_{ \mathsf{0} } + \vec{ \mathsf{V}_{1}}$.
$\vec{ \mathsf{r} } = \mathsf{r} \cdot \left( \cos{ \alpha } \cdot \vec{ \mathsf{e} _{ \mathsf{x} } } + \sin{ \alpha } \cdot \vec{ \mathsf{e} _{ \mathsf{y} } } \right)$,$- \pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$,
$0< \mathsf{r} \leqslant \mathsf{R}$ .
$\vec{ \mathsf{V} _{1} } = \frac{ \mathsf{V} _{0} }{ \mathsf{R} } \cdot \left( \vec{ \mathsf{e} _{ \mathsf{z} } } \times \vec{ \mathsf{r} } \right) = \frac{ \mathsf{V} _{0} \cdot \mathsf{r} }{ R } \cdot \left( -\cos{ \alpha } \cdot \vec{ \mathsf{e} }_{ \mathsf{ \mathsf{y} } } + \sin{ \alpha } \cdot \vec{ \mathsf{e} }_{ \mathsf{ \mathsf{x} } } \right)$.
$\left| \vec{ \mathsf{V} } \right| = \left| \vec{ \mathsf{V} _{0} } \right|, \mathsf{V} _{0}^{2}=\left( \vec{ \mathsf{V} _{0} } + \vec{ \mathsf{V} _{1} } \right) ^{2}\Rightarrow ... \sin{ \alpha }= - \frac{ \mathsf{r} }{ 2 \cdot \mathsf{R} }$.
Получили угол, определяющий положение двух точек на диске на расстоянии r от центра, для которых выполняется поставленное условие.
Если точка на ободе, то соответствующие углы: -30 град. и -150 град.

[Ende]

revos
Ну вот, можете же, когда захотите. Замечу, что нет никакой необходимости пользоваться командой \mathsf. Ваш код:

$\vec{ \mathsf{V} } = \vec{ \mathsf{V} }_{ \mathsf{0} } + \vec{ \mathsf{V}_{1}}$

Результат:
$\vec{ \mathsf{V} } = \vec{ \mathsf{V} }_{ \mathsf{0} } + \vec{ \mathsf{V}_{1}}$
Код без \mathsf намного проще:

$\vec V = \vec V_0 + \vec V_1$

Результат:
$\vec V = \vec V_0 + \vec V_1$

[druggist]

revos в сообщении #1584397 писал(а):

$\left| \vec{ \mathsf{V} } \right| = \left| \vec{ \mathsf{V} _{0} } \right|, \mathsf{V} _{0}^{2}=\left( \vec{ \mathsf{V} _{0} } + \vec{ \mathsf{V} _{1} } \right) ^{2}\Rightarrow ... \sin{ \alpha }= - \frac{ \mathsf{r} }{ 2 \cdot \mathsf{R} }$

Для школьников, этот результат - ${\sin{ \alpha }= - \frac{ \mathsf{r} }{ 2 \cdot \mathsf{R}}$, вернее, ${\sin^2{ \alpha }= \frac{ \mathsf{r}^2 }{ (2 \cdot \mathsf{R})^2}$ можно получить из геометрии(теорема косинусов) и формулы косинуса двойного угла. Кроме того, школьники должны знать уравнение окружности в декартовых координатах (дуга - ее часть), оно легко получается из предыдущего выражения для синуса : $x^2 +(y + R)^2 = R^2$ (уравнение окружности с центром в точке $(0, -R)$ точке касания)

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Ende в сообщении #1584422 писал(а):

Ну вот, можете же, когда захотите.

Я боюсь, человек писал этот код не вручную, а пользовался каким-то автоматическим инструментом. Иначе сложно объяснить появление \mathsf . Право же, revos, бросайте эту ерунду и просто потратьте немного своего времени на изучение LaTeX. Времени нужно совсем немного, на порядок меньше чем это может показаться.