Теория гомотопий, алгебраическая геометрия и другие вопросы

[EminentVictorians]

Ende
Выделено из темы «Еще раз о востребованности теории категорий»

На счет теории гомотопий. Мне теория гомотопий не очень понятна, поэтому я совершенно не знаток, но:

1. Один из основных объектов теории гомотопий - категория $\operatorname{Toph}$ (малых топологических пространств с морфизмами - классами гомотопных отображений).
2. $\operatorname{CW}$-комплексы собираются в категорию.
3. Помимо $\operatorname{Toph}$ из п.1. есть категория $\operatorname{Toph_*}$ (все то же самое, только топологические пространства с отмеченой точкой, а классы гомотопий сохраняют эту отмеченную точку)
4. Компактно порожденные топологические пространства с отмеченной точкой собираются в категорию $\operatorname{CGHaus}$.
5. Кстати, гомотопии можно перемножать не только "горизонтально", но и "вертикально". Так образуется 2-категория, где кроме стрелок (классов гомотопии), есть еще и 2-клетки (классы гомотопии гомотопий).
6. Аксиомы Стинрода-Эйленберга формулируются на языке теории категорий (но я сам не воспроизводил эту формулировку, а просто поверил на слово Маклейну)
7. Симплициальная категория сюда же.


А если удобство возникает на таких начальных этапах, я практически на 100% уверен, что и мотивные гомотопии тоже будут завязаны на категории (хоть я про них и ничего не знаю).

Мне так-то сильно интересно узнать, в чем прикол гомотопий. Есть гомотопическая теория типов, которая претендует там вообще на какие-то нереальные вещи. Но меня матлогика не очень впечатляет, поэтому я легко переживу, если не узнаю, что там с этой Hott.

А вот что меня действительно волнует - это теория высших категорий. Я заглядывал в книги Лурье, могу единственное сказать, что там что-то по-настоящему впечатляющее. Но эти гомотопии там из всех щелей... Поэтому я пока не знаю, как к ним относиться: с одной стороны мне они не очень интересны, с другой стороны высшие категории выглядят слишком круто и ради них может быть и есть смысл во всем этом разобраться.

[пианист]

Эхх, раз уж ввязался..

EminentVictorians в сообщении #1583446 писал(а):

Мне так-то сильно интересно узнать, в чем прикол гомотопий

Насколько я понял (надеюсь, более сведущие участники поправят), пойнт в том, что применить к алгебраическим многообразиям геометрические рассуждения типа "тут стянем, тут раздуем, а тут шапочку", как к гладким многообразиям, нельзя, они, алгебраические многообразия, "жесткие". Так вот мотивы в определенном смысле дают возможность справиться с данной трудностью.

EminentVictorians в сообщении #1583465 писал(а):

А вот что меня действительно волнует - это теория высших категорий. Я заглядывал в книги Лурье, могу единственное сказать, что там что-то по-настоящему впечатляющее. Но эти гомотопии там из всех щелей...

"Нет препятствий патриотам". Только надо таки, прервав Ваши изыскания правильных учебников, выучить по обычным матанализ, ТФКП, а там уже и основы топологии, включая гомотопии. Впрочем, у текстов Лурье наверное же указаны пререквизиты? можно и от них отталкиваться..

[EminentVictorians]

Спасибо.

пианист в сообщении #1583484 писал(а):

Впрочем, у текстов Лурье наверное же указаны пререквизиты?

Да. Насколько я понимаю, не шибко и большие. Обычная теория категорий + основы алгебры и топологии. (это если взять книгу о высших топосах; у него есть еще книга с названием "Higher algebra" - про нее я не знаю, наверное то же самое + высшие топосы )

А можно спросить насчет алгебраической геометрии? Насколько сильно она связана с обычной алгеброй?

Я просто вот с какой целью спрашиваю. Мне нравится, когда теории переплетаются друг с другом. Допустим, пытались что-то доказать из линейной алгебры, долго и мучительно, а потом применили аппарат теории групп и все стало элементарно. Или наоборот лин. алгебру применили к группам (например, через представления). Ну и, конечно же, теория категорий (которая на мой взгляд лидирует в плане делать непонятное понятным, но это ладно). А вот алгебраическая геометрия. Не знаете, насколько она находит выход на обычную алгебру? Или на дискретные структуры. (А то есть ведь алгебраическая геометрия над конечными полями; должна по-идее применяться где-нибудь в дискретной математике, алгоритмах и т.д.)

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1583504 писал(а):

Насколько я понимаю, не шибко и большие. Обычная теория категорий + основы алгебры и топологии.

Ну так как, будете учить нужный бекграунд?

EminentVictorians в сообщении #1583504 писал(а):

А можно спросить насчет алгебраической геометрии? Насколько сильно она связана с обычной алгеброй?

Я просто вот с какой целью спрашиваю. Мне нравится, когда теории переплетаются друг с другом. Допустим, пытались что-то доказать из линейной алгебры, долго и мучительно, а потом применили аппарат теории групп и все стало элементарно. Или наоборот лин. алгебру применили к группам (например, через представления). Ну и, конечно же, теория категорий (которая на мой взгляд лидирует в плане делать непонятное понятным, но это ладно). А вот алгебраическая геометрия. Не знаете, насколько она находит выход на обычную алгебру?

Не понимаю.
Алгебраическая геометрия, она алгебраическая по самому своему предмету изучения.
Случаи, когда результат из одного раздела математики что-то помогает понять в другом, конечно, бывают, но почему это непременно должно быть что-то алгебраическое? Самый яркий пример такого рода, который мне знаком, это использование обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера при интегрировании уравнения Кортевега-де Фриза.

EminentVictorians в сообщении #1583504 писал(а):

Или на дискретные структуры. (А то есть ведь алгебраическая геометрия над конечными полями; должна по-идее применяться где-нибудь в дискретной математике, алгоритмах и т.д.)

За алгоритмы не скажу, а большАя часть работ по АГ посвящена гипотезам Вейля. Это как раз про конечные поля.

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1583532 писал(а):

Ну так как, будете учить нужный бекграунд?

Это слишком сложный вопрос)) Если серьезно, мне надо в любом случае сначала разобраться, насколько та теория релевантна моим интересам. Но название "Higher algebra" очень заманчивое.

пианист в сообщении #1583532 писал(а):

Алгебраическая геометрия, она алгебраическая по самому своему предмету изучения.

Я понимаю. Я просто хотел узнать, насколько результаты и методы алгебраической геометрии используются в других разделах математики, типа обычной алгебры, дискретной математики, теории чисел и т.д. Я понимаю, что алгебраическая геометрия - алгебраическая. Но может быть так, что она относительно замкнуто изучает свой предмет, слабо взаимодействуя с остальной частью алгебры и смежных с ней разделами, а может наоборот ее результаты могут использоваться широко. Вот это хотел спросить.

пианист в сообщении #1583532 писал(а):

но почему это непременно должно быть что-то алгебраическое?

Да это просто мне алгебраическое больше интересно.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1583579 писал(а):

мне надо в любом случае сначала разобраться, насколько та теория релевантна моим интересам

Что релевантно интересам, много от чего разного зависит. Если речь о том, чем интересно и не противно заниматься, то это только пробовать. Та же алгебра может и не понравиться, когда Вы столкнетесь с реальной работой в этой сфере.

EminentVictorians в сообщении #1583579 писал(а):

Я просто хотел узнать, насколько результаты и методы алгебраической геометрии используются в других разделах математики, типа обычной алгебры, дискретной математики, теории чисел и т.д.

А зачем? Чтобы применять алгебраическую геометрию в теории чисел, надо быть, для начала, специалистом в теории чисел, то же касается остального.