Касательно одной системы уравнений в частных производных

[Утундрий]

Обозначим посредством $f_{,i}$ частную производную по $i$-му аргументу функции $f$. И пусть дважды непрерывно дифференцируемая функция $u(x,y)$ является решением следующей задачи

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{,1}(x,y)&=&f_1 (x,y;u(x,y))\\ u_{,2}(x,y)&=&f_2 (x,y;u(x,y)) \\ u(0,0)&=&0 \\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (1) $$

Тогда существуют и равны смешанные производные

$$u_{,12}(x,y)=u_{,21}(x,y) \eqno (2)$$

Из $(1)$ находим $u_{,12}(x,y)=(f_{1,2}+f_{1,3} f_2)( \mathcal{ M}_u)$ и $u_{,21}(x,y)=(f_{2,1}+f_{2,3} f_1)( \mathcal{ M}_u)$, где введено краткое обозначение $\mathcal{ M}_u = \left\{ (x,y;u(x,y)) \right\}$. Теперь $(2)$ можно переписать в виде

$$(f_{2,1}+f_{2,3} f_1-f_{1,2}-f_{1,3} f_2)( \mathcal{ M}_u) \eqno (3)$$

Последовательно решим две задачи Коши для ОДУ (считаем в пределах темы, что мы умеем это делать)

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a'(x)&=&f_1 (x,0;a(x))\\ a(x)&=&0 \\ |x| < \varepsilon && \end{array} \right. \eqno (4) $$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} b_{,2}(x,y)&=&f_2 (x,y;b(x,y)) \\ b(x,0)&=&a(x)\\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (5) $$

Здесь $x$ играет роль параметра, так что $(5)$ - ОДУ. Также заметим, что

$$b(0,0)=0 \eqno (6)$$

Теперь рассмотрим функцию

$$\Delta(x,y)=b_{,1}(x,y)-f_1 ( \mathcal{ M}_b ) \eqno (7)$$

, где снова для красоты обозначено $\mathcal{ M}_b = \left\{ (x,y;b(x,y)) \right\}$Далее последовательно находим$\Delta(x,0) \mathop = \limits^{(7)} b_{,12}(x,y)-f_{1,2} ( \mathcal{ M}_b ) -f_{1,3} ( \mathcal{ M}_b ) b_{,2}(x,y) \mathop = \limits^{(5)} \\ = f_{2,1} ( \mathcal{ M}_b ) + f_{2,3} ( \mathcal{ M}_b ) b_{,1}(x,y) -(f_{1,2}+ f_{1,3}f_2) ( \mathcal{ M}_b ) \mathop = \limits^{(7)} \\ = (f_{2,1}+f_{2,3} f_1-f_{1,2}-f_{1,3} f_2)( \mathcal{ M}_b) + f_{2,3} ( \mathcal{ M}_b ) \Delta(x,y) \mathop = \limits^{(???)}f_{2,3} ( \mathcal{ M}_b ) \Delta(x,y) $

И тут самое время остановиться и подумать. Хочется, конечно, поставить вместо трёх вопросительных знаков цифру $3$, но с какой стати? Функция $b$ вовсе не обязана удовлетворять условиям $(3)$!

Однако, предположим, что это так. Тогда получаем ещё одну задачу Коши

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \Delta_{,2}(x,y)&=&f_{2,3} (x,y;b(x,y)) \Delta(x,y)\\ \Delta(x,0)&=&0\\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (8) $$

имеющую только тривиальное решение $\Delta(x,y) \equiv 0$. Другими словами, $b_{,1}(x,y)=f_1 (x,y;b(x,y)) $.

Отсюда, а так же из $(5)$ и $(6)$ следует, что $b(x y)$ является решением задачи $(1)$.

Вопрос первый. Правильно ли я понимаю, что если решить $(4)$ и $(5)$, потом подставить $b$ в $(3)$ и получится тождество, то предположение о выполнении этого самого тождества будет некоторым образом "предвосхищено" и не создаст "порочного круга"?

И второй вопрос. Системы $(4)$ и $(5)$ прекрасно решаются и для всего лишь непрерывных $f$. Будет ли в этом случае какой-то аналог $(3)$ и можно ли считать найденную $b$ неким "слабым" решением $(1)$?

[Razgulyay]

Записывая выражения $(4)$ и $(5)$ для системы $(1)$, Вы, по сути, выбираете путь интегрирования переменной $u$: сначала вдоль оси $x$, затем вдоль оси $y$. Можно себе представить и дугой путь. Если выполняется $(3)$, то результат интегрирования не будет зависеть от пути и система $(1)$ будет совместна.

Поэтому, если Вы запишете систему $(4)$ и $(5)$ и её решение удовлетворяет $(3)$, то тогда ей можно будет поставить в соответсвие совместную систему $(1)$.

Утундрий в
сообщении #1582077 писал(а):

Будет ли в этом случае какой-то аналог $(3)$ и можно ли считать найденную $b$ неким "слабым" решением $(1)$?

Думаю что мало смысла назвать это каким-либо "решением" (1), оно будет неинвариантно относительно замены координат, так как замена координат изменит и путь.

[Утундрий]

Razgulyay в сообщении #1582082 писал(а):

Если выполняется $(3)$, то результат интегрирования не будет зависеть от пути

Это как раз и нужно доказать.

[пианист]

Утундрий в сообщении #1582077 писал(а):

..задачи

$$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{,1}(x,y)&=&f_1 (x,y;u(x,y))\\ u_{,2}(x,y)&=&f_2 (x,y;u(x,y)) \\ u(x,y)&=&0 \\ |x| < \varepsilon ,&& |y| < \delta \end{array} \right. \eqno (1) $$

Не совсем понял условие: что именно в задаче надо найти?

[Утундрий]

Чёрт. Там начальное условие с ошибкой и теперь уже не поправить.

Должно быть $u(0,0)=0$, конечно.

Ende
Поправил.

[пианист]

А, тогда да.

-- Пт фев 17, 2023 23:36:27 --

Собс-но, переформулировка теоремы Фробениуса для полей $\frac{\partial}{\partial x} + f_1 \frac{\partial}{\partial u}$ и $\frac{\partial}{\partial y} + f_2 \frac{\partial}{\partial u}$

[Утундрий]

пианист
То есть, приведенное доказательство корректно?

[пианист]

Извиняюсь, не соображаю уже. Говорил про способ построения решения (выводим из начальной точки кривую одним полем, а с нее поверхность вторым).
Доказательство на свежую голову гляну.

[Razgulyay]

В преддверии ответа математиков напишу пока своё "доказательство".
Проинтегрируем первое уравнение (1) по $x$

$$ u(x,y) = \int\limits_0^x f_1\left( \xi , y ; u(\xi , y) \right) d\xi + g(y). $$

Затем продифференцируем по $y$

$$ u_{,2}(x,y) = \int\limits_0^x [f_{1,2} + f_{1,3}u_{,2}]\left( \xi , y ; u(\xi , y) \right) d\xi + g'(y). $$

Чтобы выполнялось второе уравнение (1), необходимо

$$ \int\limits_0^x [f_{1,2} + f_{1,3}u_{,2}]\left( \xi , y ; u(\xi , y) \right) d\xi + g'(y) = f_2\left( x , y ; u(x , y) \right) \eqno (3*.1). $$

Откуда

$$g'(y) = f_2\left( 0 , y ; u(0 , y) \right) \eqno (3*.2).$$

Таким образом, из первого ур-я (1), (3*.1) и (3*.2) следует второе уравнение (1), что и означает совместность.

Теперь нужно показать эквивалентность {(3*.1),(3*.2)} и (3).

(3*.2)$\rightarrow$(3) можно получить продифференцировав (3*.2) по $x$.
При интегрировании (3) по $x$, получим

$$\int\limits_0^x [f_{1,2} + f_{1,3}u_{,2}]\left( \xi , y ; u(\xi , y) \right) d\xi = f_2\left( x , y ; u(x , y) \right) - f_2\left( 0 , y ; u(0 , y) \right),$$

а это и есть (3*.1),(3*.2).
ч.т.д.

[пианист]

Утундрий в сообщении #1582097 писал(а):

приведенное доказательство корректно?

Вроде все верно.
Только в (4) та же ачипятка, должно быть $a(0)=0$, и длинная цепочка должна начинаться $\Delta (x,y)_{,2} = ..$ etc.
$\Delta (x,0) = 0$, что получаем, дифференцируя по $x$ второе уравнение (5) и используя первое уравнение (4).

[Утундрий]

Ну и ок.

[krum]

а чем не устраивает стандартное доказательство, кроме того, что его редко где встретишь?

-- 19.02.2023, 10:13 --

Утундрий в сообщении #1582077 писал(а):

сать в виде

$$(f_{2,1}+f_{2,3} f_1-f_{1,2}-f_{1,3} f_2)( \mathcal{ M}_u) \eqno (3)$$

в смысле там должно быть $=0$, при всех значениях независимых переменных $x, y,u$

[Утундрий]

krum в сообщении #1582301 писал(а):

чем не устраивает стандартное доказательство

Вы думаете, что я умею читать мысли на расстоянии?

[krum]

Если векторные поля $v_1(x),\ldots,v_n(x),\quad x\in\mathbb{R}^m$ коммутируют, то, очевидно
функция $x(t_1,\ldots,t_n)=g_{v_1}^{t_1}\circ\ldots\circ g_{v_1}^{t_n}(\tilde x)$ является решением задачи

$$\frac{\partial x}{\partial t_k}=v_k(x(t)),\quad k=1,\ldots,n,\quad x(0)= \tilde x.$$

-- 19.02.2023, 17:14 --

M.Taylor PDE vol.1

[Утундрий]

krum
Слишком абстрактно.