Эквивалентность "банаховых" норм

[artempalkin]

Назовем норму в ЛП "банаховой", если относительно нее наше пространство будет банаховым.

В одной из предыдущих тем всплыло такое утверждение: если две нормы в одном пр-ве банаховы, то они эквивалентны.

Звучит хорошо, но что-то я не смог пока доказать...

По логике, если идти от противного, нужно доказать, что одна норма не ограничена на единичной сфере другой (говоря простым языком).

То есть рассмотреть такую $\{x_n\}$, что $||x_n||_1=1$, но $||x_n||_2\to\infty$. И это должно противоречить банаховости одного из пространств... но я что-то не пойму, где здесь противоречие. Или как-то принципиально иначе нужно доказывать?

[Утундрий]

(Оффтоп)

artempalkin в сообщении #1581832 писал(а):

В одной из предыдущих тем

Внизу каждой темы имеется окошко со ссылкой на заглавие этой темы. Её можно скопировать в буфер и вставить в текст. Тогда читателям не придётся гадать, о какой "одной из предыдущих тем" идёт речь.

[artempalkin]

«Положительно определенные матрицы» Спасибо, но, право, там еще искать надо, и к исходной теме этот вопрос имеет мало отношения :)

[krum]

artempalkin в сообщении #1581832 писал(а):

Назовем норму в ЛП "банаховой", если относительно нее наше пространство будет банаховым.

В одной из предыдущих тем всплыло такое утверждение: если две нормы в одном пр-ве банаховы, то они эквивалентны.

Если, что данное неверное утверждение является фантазией его автора и ко мне отношения не имеет. Я поправил автора в названной теме:

krum в сообщении #1580888 писал(а):

да, если еще при этом этом одна норма не слабее другой, тогда и обратное верно. это очень известный фольклор.

, но он мое замечание проигнорировал и продолжает токовать.

[artempalkin]

krum

Не совсем понимаю, где именно вы меня поправили

Цитата:

artempalkin в сообщении #1580886 писал(а):
Получается, если есть две нормы в одном пространстве, и относительно каждой из них пространство является банаховым, то заведомо эти нормы будут эквивалентны?

да, если еще при этом этом одна норма не слабее другой, тогда и обратное верно. это очень известный фольклор.

Написано вроде "да"... Так в чем же все-таки утверждение? В смысле, какое утверждение все же верно?

[artempalkin]

Я полностью запутался в том, что же именно мне сказал уважаемый krum. Я думал ответ "да", ну и при каких-то дополнительных условиях будет верно и обратное утверждение (какое? в любом случае, на данном этапе мне оно неинтересно), как часто это бывает. Но, видимо, ответ все же "нет". Может быть кто-то может помочь тогда с контрпримером? то есть две "банаховы" нормы, и одна из них неограниченна относительно другой.

Тут как бы непросто придумать две принципиально разные "банаховы" нормы для одного пространства. Я рассмотрел ситуацию $l_2$ с обычной нормой и с нормой максимум модуля элементов последовательности. Но относительно второй пр-во будет небанахово (потребовались некоторые усилия, чтобы доказать). Ну и обычная норма $l_2$ неограничена на единичной сфере второй нормы.

[mihaild]

Если вы верите в аксиому выбора - то например $l_1$ и $l_2$ изоморфны как векторные пространства.

[мат-ламер]

artempalkin в сообщении #1581976 писал(а):

Я рассмотрел ситуацию $l_2$ с обычной нормой и с нормой максимум модуля элементов последовательности. Но относительно второй пр-во будет небанахово (потребовались некоторые усилия, чтобы доказать).

Не совсем понятно, что вы рассмотрели. Но пространство $l^{\infty}$ ограниченных числовых последовательностей с нормой супремума модуля является полным и следовательно банаховым.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1581988 писал(а):

то например $l_1$ и $l_2$ изоморфны как векторные пространства

Думаю, сходу не очевидно, как это отвечает на вопрос ТС.
Видимо, подробное рассуждение должно быть таким.
Пространства $l_1$ и $l_2$ - бесконечномерные сепарабельные банаховы, поэтому они изоморфны как линейные пространства
(см. https://math.stackexchange.com/question ... -1-mathbbr ).
Пусть $A:\,l_1\to l_2$ - изоморфизм линейных пространств (т.е. линейное взаимно однозначное отображение). Замечу, что оно точно разрывно, в противном случае по теореме Банаха об обратном операторе оно было бы линейным гомеоморфизмом между $l_1$ и $l_2$, а они негомеоморфны (хотя бы потому, что первое нерефлексивно, а второе рефлексивно).
Рассмотрим тогда на линейном пространстве $l_1$ нормы $\|x\|_{l_1}$ и $\|Ax\|_{l_2}$.
Легко проверяется, что обе нормы банаховы, в то же время их эквивалентность означала бы непрерывность оператора $A$, значит они неэквивалентны. Контрпример найден.

мат-ламер в сообщении #1581993 писал(а):

Не совсем понятно, что вы рассмотрели. Но пространство $l^{\infty}$ ограниченных числовых последовательностей с нормой супремума модуля является полным и следовательно банаховым.

ТС рассмотрел линейное пространство $l_2$ с нормой пространства $l_\infty$. Оно не банахово (и его пополнением является $l_\infty$).

[artempalkin]

mihaild
Спасибо большое за идею!

Mikhail_K
Спасибо! Конечно, многое мне непонятно из-за низкого базового уровня...

Mikhail_K в сообщении #1581997 писал(а):

Рассмотрим тогда на линейном пространстве $l_1$ нормы $\|x\|_{l_1}$ и $\|Ax\|_{l_2}$.

Но в таком случае вторая норма не будет непрерывна... или как бы в этом и соль?


В любом случае, сложный пример, конечно... Но спасибо! буду разбираться.

Mikhail_K в сообщении #1581997 писал(а):

ТС рассмотрел линейное пространство $l_2$ с нормой пространства $l_\infty$. Оно не банахово (и его пополнением является $l_\infty$).

А разве пополнением будет не множество стремящихся к нулю последовательностей с супремумной нормой (не помню, какой буквой они обозначаются - $c_0$, кажется)?

Например, если в $l_{\infty}$ взять последовательность из одних единиц, я не очень вижу, как можно по супремумной норме приблизить элементом $l_2$ ближе, чем на $1$. А стремящуюся к нулю можно как угодно близко (срезать просто).

[Mikhail_K]

artempalkin в сообщении #1582070 писал(а):

Но в таком случае вторая норма не будет непрерывна

А что значит "непрерывная норма"? Норма - это функционал на линейном пространстве, для функционалов на линейном пространстве просто нет понятия непрерывности или разрывности. Конечно, норма превращает линейное пространство в линейное нормированное, и для функционалов на линейном нормированном пространстве понятие непрерывности уже есть. Норма всегда является непрерывным функционалом в линейном нормированном пространстве, порождённом этой нормой (но может быть разрывным функционалом в линейном нормированном пространстве, порождённом какой-нибудь другой нормой).

-- 17.02.2023, 19:47 --

artempalkin в сообщении #1582070 писал(а):

Например, если в $l_{\infty}$ взять последовательность из одних единиц, я не очень вижу, как можно по супремумной норме приблизить элементом $l_2$ ближе, чем на $1$. А стремящуюся к нулю можно как угодно близко (срезать просто).

Да, Вы правы.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1582070 писал(а):

Но в таком случае вторая норма не будет непрерывна... или как бы в этом и соль

Да, в этом и соль. Если две нормы непрерывны друг по другу, то они эквивалентны.

Ещё замечу, что с ZF совместно утверждение "все линейные операторы из банахова пространства в нормированное непрерывны", из которого следует, что любые две нормы на банаховом пространстве эквивалентны. Так что явно (без аксиомы выбора) указать две неэквивалентных нормы не получится.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1581988 писал(а):

$l_1$ и $l_2$ изоморфны как векторные пространства.

Получается, они изоморфны, потому что совпадают мощности базиса Гамеля, правильно я понимаю?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1582163 писал(а):

Получается, они изоморфны, потому что совпадают мощности базиса Гамеля, правильно я понимаю?

Правильно. Биекция между базисами Гамеля порождает линейный изоморфизм.

[ewert]

artempalkin в сообщении #1581832 писал(а):

В одной из предыдущих тем всплыло такое утверждение: если две нормы в одном пр-ве банаховы, то они эквивалентны.

Звучит хорошо, но что-то я не смог пока доказать...

Это, скорее всего, теорема того же Банаха о непрерывном операторе.

Она нетривиальна, но она есть. И, насколько помню (а помню смутно), ни на какую аксиому выбора она, слава аллаху, не ссылается.