то например

и

изоморфны как векторные пространства
Думаю, сходу не очевидно, как это отвечает на вопрос ТС.
Видимо, подробное рассуждение должно быть таким.
Пространства

и

- бесконечномерные сепарабельные банаховы, поэтому они изоморфны как линейные пространства
(см.
https://math.stackexchange.com/question ... -1-mathbbr ).
Пусть

- изоморфизм линейных пространств (т.е. линейное взаимно однозначное отображение). Замечу, что оно точно разрывно, в противном случае по теореме Банаха об обратном операторе оно было бы линейным гомеоморфизмом между

и

, а они негомеоморфны (хотя бы потому, что первое нерефлексивно, а второе рефлексивно).
Рассмотрим тогда на линейном пространстве

нормы

и

.
Легко проверяется, что обе нормы банаховы, в то же время их эквивалентность означала бы непрерывность оператора

, значит они неэквивалентны. Контрпример найден.
Не совсем понятно, что вы рассмотрели. Но пространство

ограниченных числовых последовательностей с нормой супремума модуля является полным и следовательно банаховым.
ТС рассмотрел линейное пространство

с нормой пространства

. Оно не банахово (и его пополнением является

).