Положительно определенные матрицы

[artempalkin]

В книге Абакумова приводится такой факт: для положительно определенной матрицы $A$ верно вот что:

$\exists\delta>0 \ \forall x \ (Ax, x)\geqslant \delta ||x||^2$

Раньше слышал, но никогда не доказывал. Для симметрической матрицы доказать удалось.

$(Ax,y)$ задает скалярное произведение, через которое можно задать норму $||x||_A$. В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны, а значит найдется такое число, что $(Ax, x)\geqslant \delta||x||^2$.

Но вот если исходная матрица не симметрична, то скалярного произведения она не задает своей квадратичной формойбилинейной формой... Что же тогда?

С другой стороны, я так понимаю, любую квадратичную форму можно задать и симметричной матрицей, тогда изменится полярная билинейная форма, но не исходная квадратичная... будет ли и для такой матрицы верно исходное утверждение?

[ShMaxG]

Если она не симметричная, то в квадратичной форме ее можно заменить на ее симметричную часть (а кососимметричную часть отбросить). Исходная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ее симметричная часть положительно определена, а для симметричной части верны ваши рассуждения.

[Евгений Машеров]

А зачем нам вводить норму непременно через матрицу A? Берём любую норму, делим икс на его норму. $y=\frac x {\lVert x \rVert}$
И
$\exists\delta>0 \ \forall y \ (Ay, y)\geqslant \delta $
становится попросту определением положительно определённой матрицы.

[artempalkin]

ShMaxG в сообщении #1575705 писал(а):

Если она не симметричная, то в квадратичной форме ее можно заменить на ее симметричную часть (а кососимметричную часть отбросить). Исходная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ее симметричная часть положительно определена, а для симметричной части верны ваши рассуждения.

Да, отличный подход,спасибо!

Евгений Машеров в сообщении #1575722 писал(а):

$\exists\delta>0 \ \forall y \ (Ay, y)\geqslant \delta $
становится попросту определением положительно определённой матрицы.

Совершенно точно не так определяется положительно определенная матрица :)

Возможно, если добавить $\forall y$ такого что $ ||y||=1$. Но то, что это эквивалентно определению, эквивалентно моему вопросу и отдельно надо доказывать :)

[ShMaxG]

Наверное имелось ввиду следующее. Если матрица положительно определена, то $(Ax,x)>0$ для всех $x\ne0$, в том числе и для тех, что живут на единичной сфере. Но единичная сфера -- компакт, а на компакте непрерывная функция достигает минимального значения, так что будет $(Ax,x)\ge\delta$ на сфере. Отсюда последует доказываемое вами неравенство и для произвольных $x$.

[artempalkin]

ShMaxG в сообщении #1575728 писал(а):

Наверное имелось ввиду следующее. Если матрица положительно определена, то $(Ax,x)>0$ для всех $x\ne0$, в том числе и для тех, что живут на единичной сфере. Но единичная сфера -- компакт, а на компакте непрерывная функция достигает минимального значения, так что будет $(Ax,x)\ge\delta$ на сфере. Отсюда последует доказываемое вами неравенство и для произвольных $x$.

Да, но это эквивалентно доказательству эквивалентности норм :) так или иначе, в целом все ясно

[Mikhael]

Оператор $A$ определён на конечномерном пространстве?

[artempalkin]

Mikhael в сообщении #1575796 писал(а):

Оператор $A$ определён на конечномерном пространстве?

Да, конечно. Речь о матрице вообще (конечного порядка).

[krum]

artempalkin в сообщении #1575691 писал(а):

В книге Абакумова приводится такой факт: для положительно определенной матрицы $A$ верно вот что:

$\exists\delta>0 \ \forall x \ (Ax, x)\geqslant \delta ||x||^2$

Раньше слышал, но никогда не доказывал. Для симметрической матрицы доказать удалось.

докажите тоже самое для положительно определенного симметрического ограниченного оператора на вещественном гильбертовом пространстве

[artempalkin]

krum в сообщении #1576041 писал(а):

докажите тоже самое для положительно определенного симметрического ограниченного оператора на вещественном гильбертовом пространстве

Пока что не совсем понимаю, как... обычно в таком случае рассматривают последовательность $||x_n||=1$ такую что $(Ax_n,x_n)\to 0$, но что-то особого противоречия не видно... с другой стороны контрпримера тоже не вижу (но нельзя сказать, что я знаю изобилие описанных операторов). Какие-то намеки, в каком направлении двигаться?..

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1575756 писал(а):

Да, но это эквивалентно доказательству эквивалентности норм

Почему? Вам нужна всего лишь непрерывность функции $(Ax, x)$ относительно стандартной нормы, ни про какие другие нормы тут думать не надо.

krum в сообщении #1576041 писал(а):

докажите тоже самое для положительно определенного симметрического ограниченного оператора на вещественном гильбертовом пространстве

А какое тут предлагается определение положительно определенного оператора? Для стандартного $\forall x \langle Ax, x\rangle > 0$ это неверно.

[krum]

mihaild в сообщении #1580583 писал(а):

А какое тут предлагается определение положительно определенного оператора? Для стандартного $\forall x \langle Ax, x\rangle > 0$ это неверно.

Да, именно это. Только у Вас там должно быть $\forall x\ne 0$.
Существует положительно определенный симметрический оператор $B,\quad A=B^2.$
Введем норму $\|x\|_*=\|Bx\|=\sqrt{(Ax,x)}\le C\|x\|$. Применяем теорему Банаха об обратном операторе к тождественному отображению $I:(H,\|\cdot\|)\to (H,\|\cdot\|_*)$. Получаем $\|\cdot\|\le c\|\cdot\|_*$.
Здесь $(H,\|\cdot\|)$ -- гильбертово пространство со стандартной нормой.

-- 07.02.2023, 13:51 --

О! я, кажется ,знаю, что может быть не так. Я не проверял является ли $(H,\|\cdot\|_*)$ банаховым

-- 07.02.2023, 14:02 --

да, ну и контрпримеры очевидны...

[artempalkin]

krum в сообщении #1580589 писал(а):

О! я, кажется ,знаю, что может быть не так. Я не проверял является ли $(H,\|\cdot\|_*)$ банаховым

Получается, если есть две нормы в одном пространстве, и относительно каждой из них пространство является банаховым, то заведомо эти нормы будут эквивалентны?

krum в сообщении #1580589 писал(а):

да, ну и контрпримеры очевидны...

А можете привести какой-нибудь контрпримерчик, пожалуйста?

[krum]

artempalkin в сообщении #1580886 писал(а):

Получается, если есть две нормы в одном пространстве, и относительно каждой из них пространство является банаховым, то заведомо эти нормы будут эквивалентны?

да, если еще при этом этом одна норма не слабее другой, тогда и обратное верно. это очень известный фольклор.

artempalkin в сообщении #1580886 писал(а):

А можете привести какой-нибудь контрпримерчик, пожалуйста?

$$A:\ell_2\to \ell_2,\quad A\{x_i\}=\{x_i/i\}$$

[artempalkin]

krum в сообщении #1580888 писал(а):

$$A:\ell_2\to \ell_2,\quad A\{x_i\}=\{x_i/i\}$$

Да, это единственный оператор, который я рассматривал, но почему-то не увидел, что это контрпример. Сейчас вижу. Спасибо!

-- 09.02.2023, 10:43 --

Подождите, но...

$(Ae_i,e_i)=\frac 1i ||e_i||^2$

Т.е. $(Ax,x)\geqslant ||x||^2$, т.е. $\delta=1$, я что-то совсем запутался...

Да, запутался... все верно!