Парадокс Бертрана и родственный ему парадокс

[need_to_learn]

Недавно узнал о парадоксе Бертрана и возникли некоторые вопросы.

Напомню, что парадокс Бертрана заключается в следующем. Имеется равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Случайным образом выбирается хорда окружности. Какова вероятность, что выбранная хорда окажется длиннее стороны треугольника? Жозеф Бертран предложил три разных способа решения этой задачи, каждый из которых выглядит очевидно верным, но при этом получаются очень разные результаты. В этом и состоит парадокс.

Возможно, я чего-то не понимаю, но как по мне, объясняется этот парадокс элементарно:
1. Окружность содержит бесконечное количество точек. Поэтому из любой точки окружности можно провести бесконечное количество хорд к остальным точкам.
2. Дуга окружности размером в треть этой окружности также содержит бесконечное количество точек. Поэтому из вершины равностороннего треугольника можно провести бесконечное количество хорд, имеющих общую точку с данной дугой, и при этом отвечающих требованию быть длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника.
3. Как итог, получаем отношение $\dfrac{\infty}{\infty}$, т.е. неопределённость. (Насколько мне известно, в математике результат деления бесконечности на бесконечность не определён.)
Вот и весь внутренний механизм парадокса. Мы получаем противоречивые ответы, зависящие от способа решения, просто потому, что результат на самом деле не определён.



Конечно, как и всегда в ситуации, когда "ларчик слишком просто открывался", сразу возникает подозрение, что я чего-то упускаю из виду. Ведь не могла же куча умных людей, ломавших голову над этим парадоксом до меня, пройти мимо такого очевидного и банального объяснения ситуации?.. А тут вдруг явился я, почти ничего не понимающий в математике, "немного покумекал" и сразу всё понял?.. Обычно такое бывает только в очень наивных мечтаниях.

Но как я ни старался, у меня не получается найти изъяны в своей логике. Также я не нашёл в сети никаких попыток рассуждать схожим образом (может, не там искал). Выходит, то ли моё объяснение парадокса Бертрана слишком тупое, и люди стесняются даже озвучивать такие мысли, то ли наоборот, идея слишком гениальная. :) Может, кто-нибудь подскажет, что я делаю не так?



А теперь самое интересное. В процессе мучительных размышлений над парадоксом непонимания людьми этого парадокса, когда я пытался поэтапно проверить свой метод рассуждений, мне пришёл в голову собственный маленький симпатичный парадокс и окончательно доломал мой мозг.

Простая задачка. Имеется отрезок $AB$ и точка $C$, не лежащая на прямой $AB$. Какова вероятность того, что случайная прямая, проведённая через точку $C$, пересечёт отрезок $AB$ (будет иметь с ним общую точку)?



По идее, ответ достаточно очевиден, отношение $\dfrac{\angle ACB}{360^\circ}$ будет искомой вероятностью:



Но вот если применить мой предыдущий метод рассуждений, то начинаются чудеса:
1. Прямая, заданная отрезком $AB$, содержит бесконечное количество точек. Значит, через точку $C$ можно провести бесконечное количество прямых, пересекающих прямую $AB$ (а также можно ещё провести одну прямую, параллельную $AB$).
2. Отрезок $AB$ также содержит бесконечное количество точек. Значит, через точку $C$ можно провести бесконечное количество прямых, имеющих общую точку с отрезком $AB$.
3. Искомый результат, по идее, должен быть отношением количества точек отрезка $AB$ к общему количеству точек прямой, на которой он лежит. (Если совсем точно, то делим на $\infty + 1$, поскольку есть ещё вариант, когда через точку $C$ можно провести прямую, параллельную отрезку $AB$, но это в данном случае ни на что не влияет, ведь $\infty + 1$ это по-прежнему $\infty$.) Соответственно, опять получаем отношение $\dfrac{\infty}{\infty}$, т.е. неопределённость.



Вот и получается парадокс. Ответ зависит от способа решения, как и в случае с парадоксом Бертрана, и в целом эта задачка выглядит родственной ему.
И как с этим быть? Если такой способ рассуждений приводит к странному результату, значит, он некорректен?.. Но что именно с ним не так? Я не понимаю. Вроде ведь всё логично?
Обычно, если в ходе рассуждений получаешь бред, и при этом изъянов в логике нет, это означает, что не верны исходные данные (так, к примеру, работает доказательство от противного). Но что может быть неверным в данном случае? Или всё правильно, и задачка действительно не имеет решения, а интуитивно очевидный вариант решения ложен?
Или одно другому не мешает, и верны оба варианта решения моей задачки?.. Ведь неопределённость ответа означает, что он может быть любым, в том числе и $\dfrac{\angle ACB}{360^\circ}$.


В общем, мои мозги с этим не справляются. Может, кто умный подскажет, можно ли так в целом рассуждать (а если нельзя, то почему), и что всё это значит в итоге?

[Aritaborian]

need_to_learn в сообщении #1581573 писал(а):

3. Как итог, получаем отношение $\dfrac{\infty}{\infty}$, т.е. неопределённость. (Насколько мне известно, в математике результат деления бесконечности на бесконечность не определён.)

Вот странно, слово «неопределённость» вы знаете, а о способах её раскрытия почему-то нет.

[krum]

Скажите, а вот если Вы на дно банки радиуса $r$ не глядя бросаете крупинку, какова вероятность, что она окажется на расстоянии $r/2$ от центра дна? Тоже $\infty/\infty$, окружность ,ведь, тоже состоит из бесконечного числа точек?

[mihaild]

Когда множество исходов бесконечно (например при выборе случайной прямой) вероятность события не может определяться как "число положительных исходов" / "число всех исходов" (для конечного случая, на самом деле, она тоже не всегда так определяется).

Т.е. вопрос в том, что собственно такое "случайная прямая" (или "случайная хорда"). Для формализации этого вводится понятие вероятностного пространства и вероятностной меры. И парадокс Бертрана, по сути, состоит в том, что есть несколько разных мер, все из которых кажутся интуитивно подходящими под "случайную хорду".

С отношением числа элементов всё получается плохо еще раньше. Вот возьмем два квадрата разной площади. В них "одинаковое число" точек. Но площади разные. Как же так?
Да очень просто - площадь квадрата нельзя получить как сумму площадей составляющих его точек, нужно еще учитывать их взаимное расположение.

[F111mon]

По-моему, единственно правильное решение этого "парадокса" следующее:
1. Случайно выбираем внутри круга две точки, с координатами (x,y) и (z,t).
2. Вероятностное пространство - какая-то фигура в 4-мерном пространстве (x,y,z,t).
3. Определяем, при каких ограничениях на координаты хорда длиннее чего требуется в задаче. Эти ограничения тоже определяют какую-то фигуру.
4. Вероятность, естественно, есть отношение 4-мерных объемов фигур из п.3 и п.2

[mihaild]

F111mon в сообщении #1581585 писал(а):

1. Случайно выбираем внутри круга две точки, с координатами (x,y) и (z,t).

А координаты какие, декартовы или полярные? И почему так, а не наоборот?

Решение этого парадокса ровно одно - потребовать, чтобы при упоминании "случайной хорды" говорилось, о каком распределении речь.

[F111mon]

Координаты декартовы, точки можно брать наоборот (z,t) и (x,y)

[mihaild]

"Наоброт" - в смысле почему координаты декартовы, а не полярные? (и не любые другие, на плоскости можно кучу разных координат ввести)

[Ende]

F111mon
Даже такие простые формулы и обозначения, как $(x, y, z)$, нужно оформлять с использованием $\TeX$. Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

[Doctor Boom]

need_to_learn
Парадокс Бертрана решается просто - для случайного выбора хорды нужно задать вероятностное распределение для этого выбора, т.е. оно априори не определено. Вы можете сказать, что случайно выбираете точки на окружности (равновероятностно с одинаковой плотностью), и проводите через них хорду, или случайно выбираете точку на окружности, проводите радиус, потом на радиусе случайно выбираете точку, и через нее перпендикулярно проводите хорду. Для этого вы например можете взять очень много ("бесконечно") равноудаленных точек, тогда их отношение уже будет конечно

[need_to_learn]

Спасибо всем за ответы! Как я и предполагал, будоражившие мой мозг идеи оказались очередным велосипедом с квадратными колёсами. :) Ну и ладно, всё равно было интересно над этим подумать.

krum в сообщении #1581577 писал(а):

Скажите, а вот если Вы на дно банки радиуса $r$ не глядя бросаете крупинку, какова вероятность, что она окажется на расстоянии $r/2$ от центра дна?

Забавный вопрос. Не знаю, как это посчитать, могу ответить только интуитивно.

Если под "окажется на расстоянии" имеется в виду расстояние от центра масс лежащей на дне крупинки до центра дна, то вероятность оказаться ровно на расстоянии $r/2$ стремится к нулю, насколько я понимаю. Хотя, тут многое зависит от того, учитываем ли мы габариты крупинки или смотрим только на её центр масс. Если крупинка имеет некие геометрические размеры, то шансы "зацепить" нужный радиус хотя бы её краешком резко увеличиваются. (Но, опять же, не знаю, как это посчитать.)

Если под "окажется на расстоянии" имеется в виду в целом расстояние от центра масс крупинки до дна, то условие может выполниться ещё в полёте, тогда для крупинки достаточно войти в полусферу радиусом $r/2$ на дне. Интуитивно понятно, что её шансы в этом случае значительно повышаются. Причём крупинка может оказаться на нужном расстоянии от центра дна даже целых 2 раза во время полёта (пройдя насквозь полусферу и упав за её пределами). А при отсутствии гравитации крупинка теоретически может скакать между стенками банки и большее количество раз, то входя в полусферу, то выходя из неё. (Да и при наличии гравитации тоже, если соударения со стенками и дном банки достаточно упругие, и энергии достаточно для множественных прыжков.)

mihaild в сообщении #1581579 писал(а):

Когда множество исходов бесконечно (например при выборе случайной прямой) вероятность события не может определяться как "число положительных исходов" / "число всех исходов" (для конечного случая, на самом деле, она тоже не всегда так определяется).

Собственно, я на этом и основывал своё "объяснение" парадокса Бертрана. Я попытался показать, что предложенные Жозефом Бертраном "очевидно верные" способы решения, как раз основанные на выяснении отношения "положительные исходы" / "все исходы", не работают просто из-за появления в этом деле бесконечностей. (Может, кривовато объяснил свою мысль.)

Но, как я посмотрю, там вообще задействованы какие-то "вероятностные пространства" и "вероятностные меры", а это для меня уже слишком сильное колдунство. :) Тут я уже не могу сказать ничего умного, потому что такие далёкие области астрала мне недоступны. Но радует, что компетентные люди в курсе и принимают меры.

Doctor Boom в сообщении #1581611 писал(а):

Парадокс Бертрана решается просто - для случайного выбора хорды нужно задать вероятностное распределение для этого выбора, т.е. оно априори не определено.

Ещё и "вероятностное распределение"! У нас явно немного разное понимание слова "просто". :) Но спасибо за попытку объяснить.

[mihaild]

need_to_learn в сообщении #1581638 писал(а):

Я попытался показать, что предложенные Жозефом Бертраном "очевидно верные" способы решения, как раз основанные на вычислении отношения "число положительных исходов" / "число всех исходов"

Не совсем так.
Бертран не предлагал просто делить бесконечное число исходов, он предлагал делить длины и площади. Хотя строгого понятия площади у него на тот момент ещё не было, его ввёл Жордан через 3 года после публикации работы Бертрана. Еще через 10 лет Лебег ввёл более сильное понятие площади (использующееся и сейчас), и спустя еще полвека Колмогоров придумал, как применить подход Лебега к вероятностям, чтобы можно было формализовать понятия вида "выбрать случайную точку в квадрате".
Бертран обнаружил, что просто сказать "выбрать случайную хорду", понимая под этим (выражаясь современным языком) "возьмем какую-нибудь линию/фигуру/тело, параметризуем семейство хорд её точками, и поделим длину/площадь/объем хороших точек на весь" (как предлагал выше F111mon) нельзя, потому что в зависимости от параметризации получаются разные ответы. Как правильно это сказать - он не придумал, и вроде бы придумать смог только Колмогоров.

need_to_learn в сообщении #1581638 писал(а):

Но, как я посмотрю, там вообще задействованы какие-то "вероятностные пространства" и "вероятностные меры", а это для меня уже слишком сильное колдунство

Вообще, основы теории меры - не такая уж сложная штука, любому человеку, прослушавшему первый курс математического анализа, должны быть доступны.

need_to_learn в сообщении #1581638 писал(а):

Но радует, что компетентные люди в курсе и принимают меры.

Все необходимые меры приняты Колмогоровым, для современной теории вероятностей парадокс Бертрана интереса не представляет.

[Doctor Boom]

need_to_learn в сообщении #1581638 писал(а):

Но спасибо за попытку объяснить.

Просто делить надо не на точки, а на очень малые измеримые части, например, отрезки. Ну или если хочется точки, то

Doctor Boom в сообщении #1581611 писал(а):

Для этого вы например можете взять очень много ("бесконечно") равноудаленных точек, тогда их отношение уже будет конечно

mihaild в сообщении #1581646 писал(а):

Все необходимые меры приняты Колмогоровым, для современной теории вероятностей парадокс Бертрана интереса не представляет.

Да он вроде и до него не представлял (или до таких очевидных вещей как непрерывное вероятностное распределение додумались сильно позже?)

[Лукомор]

F111mon в сообщении #1581585 писал(а):

1. Случайно выбираем внутри круга две точки, с координатами (x,y) и (z,t).

А почему именно внутри круга, а не, например, снаружи круга в некоторой
замкнутой области?
Или одна точка внутри, а другая снаружи.