Теорема Пифагора - простейшее доказательство

[Утундрий]

Рукопедия писал(а):

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора

Но мышки продолжают жевать кактус.

[Aslan74]

Утундрий в сообщении #1581121 писал(а):

Рукопедия писал(а):

Но мышки продолжают жевать кактус.

А некоторые жуют сопли. Что сказать то хотело?

-- 11.02.2023, 20:30 --

krum в сообщении #1581117 писал(а):

А я вот утверждений не увидел. Там знаки вопроса стоят

Кроме знаков препинания, надо бы воспринимать еще смысл вопроса. Вопрошающий удивляется, что:
"Это реально теорема Пифагора?" и с чего-то взял, что теорема Пифагора "была известна ещё египетским жрецам? А может и шумерским?". Вот пусть сам и ищет потверждение тайных знаний древних жрецов

krum в сообщении #1581117 писал(а):

Очки протереть не пробовали?

А это твое хамство

[Ende]

Aslan74
Двухнедельный бан за хамство в адрес участника Утундрий
. На этом форуме принято общаться вежливо. И на "вы".
krum
Пожалуйста, тоже оставайтесь в рамках вежливости.

[iifat]

Aslan74 в сообщении #1581104 писал(а):

Приведите ссылки на работы жрецов или мы их должны искать?

Вот именно. И желательно в рецензируемых журналах!

[vpb]

Aritaborian в сообщении #1581119 писал(а):

вы об этом доказательстве говорили?

Да, именно об этом. Только Погорелов еще косинус приплел без нужды, обычно пишут просто "Из подобия треугольников $ACD$ и $ABC$ имеем $\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$" и аналогично про второе соотношение.

В учебнике Колмогорова такое же (но без косинуса) доказательство. А в Атанасяне, как ни странно, через площади. Но здесь надо сделать такое пояснение. У учебника Атанасяна, вообще говоря, пять авторов: Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина. А прежде этого учебника был другой, экспериментальный учебник, авторства Атанасян и Позняк, "Геометрия 6-8", 1981 года, в либгене есть. Так вот, в этом экспериментальном учебнике теорема Пифагора доказывается стандартным образом, а не через площади. И вообще, я в него заглядывал, он более строг, последователен и вообще классичен, чем существующий с пятью авторами (мое впечатление). Да и длинней на треть. Не знаю, как было дело, но, видимо, экспериментальный оказался для обычных детишек трудноват, и его местами упростили, в том числе посредством всякого мелкого жульничества. Например, Пифагора через площади.

(И всё равно, по моему мнению, учебник Атанасяна, даже в опошленном варианте, лучше и погореловского и колмогоровского).

(Про Атанасяна)

Я лично Л.С.Атанасяна не видел, и даже не знал, вплоть до недавнего времени, что был такой человек, но, судя по другим его книжкам (например, про геометрию Лобачевского), это был прекрасный специалист в отношении логического строения геометрии. Видимо, он и был главным автором учебника, не только по алфавиту.

Спору нет, через площади более наглядно. Но надо же понимать, что это жульничество. В систему основных понятий геометрии площадь не входит.

(А что входит, кстати ? Есть два варианта: (1) точка, прямая, плоскость, лежать между, наложение, или (2) точка, прямая, плоскость, расстояние. В варианте (1), заметим, расстояние (и тем самым движение) является производным понятием (и доказать существование корректно определенного расстояния --- нетривиальная задача). И если говорить грубо упрощенно, Атанасян построен на системе (1), а Колмогоров (2). )

Построение теории измерения площадей --- совсем не простая вещь. У древних греков понятия о логической структуре геометрии были весьма смутные, а уже в 19-м веке все эти сложности понемногу понимать начали.

[Mihr]

vpb в сообщении #1581158 писал(а):

Да, именно об этом.

У Погорелова доказательство строится на том, что если точка $D$ разбивает отрезок $AB$ на два отрезка, то длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DB$. То есть, аддитивность меры всё-таки используется, только не меры плоских фигур, а отрезков. Можно ли считать это важным преимуществом перед подходом авторов атанасяновского учебника?

[vpb]

Mihr в сообщении #1581162 писал(а):

Можно ли считать это важным преимуществом

Уточните, что Вы имеете в виду под "это". Аддитивность длины во всех учебниках есть, а в школьных --- во всех без доказательства. А то, что в Погорелове не используются площади в этом месте --- это да, преимущество Погорелова перед Атанасяном. (Но в сумме, в других местах то есть, у Погорелова недостатков гораздо более. ).

[Утундрий]

Скажите, всё это действительно имеет значение после эрлангенской программы?

[Mihr]

vpb в сообщении #1581170 писал(а):

Уточните, что Вы имеете в виду под "это".

Использование аддитивности длины (которая всё равно принимается без доказательства, как Вы и отмечаете), а не аддитивности площади.
(Я, видимо, не умею мыслить как математик, отсюда иногда и вопросы, которые могут оказаться глупыми).

[vpb]

Mihr в сообщении #1581172 писал(а):

Использование аддитивности длины

Понятно. Да, тогда преимущество, как я писал. Поскольку аддитивность длины --- это, по моим понятиям, нечто гораздо более простое, чем аддитивность площади.

-- 11.02.2023, 19:27 --

Утундрий в сообщении #1581171 писал(а):

Скажите, всё это действительно имеет значение после эрлангенской программы?

Ну, да, имеет. Эрлангенская программа --- это, как я себе представляю, некая философия, что надо изучать свойства фигур, инвариантные относительно некоторых групп преобразований. Аксиоматический метод в геометрии от этого никак не отменяется и не устаревает морально.

[мат-ламер]

vpb в сообщении #1581175 писал(а):

Аксиоматический метод в геометрии от этого никак не отменяется и не устаревает морально.

Однако аксиомы совершенствуются и в новых аксиомах доказательства получаются проще. Например теорема Пифагора с учётом аксиом скалярного произведения и векторного пространства доказывается совсем просто: $\|a+b\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2+2(a,b)=\|a\|^2+\|b\|^2$ . Вероятно теорема Пифагора в этих новых аксиомах где-то внутри зашита, но её явно не видно. Это как в кино: - Видишь суслика? - Нет. - И я нет. А он есть!

[vpb]

мат-ламер в сообщении #1581177 писал(а):

Вероятно теорема Пифагора в этих новых аксиомах где-то внутри зашита,

Нет, не в этом дело. И не в том, что "аксиомы совершенствуются", а в том, что это вообще другая область знания, а именно линейная алгебра, а точнее та ее часть, которая называется "геометрия пространств со скалярным произведением".

Естественно, в 7-8 классе эту теорию освоить нельзя. Можно только ввести скалярное произведение векторов на плоскости, как оно и делается ныне в рамках школьного курса. И вообще, изучение линейной алгебры требует, во-первых, хоть небольшой общематематической культуры, в частности алгебраической, во-вторых, достаточно развитой геометрической интуиции. А получить эту геометрическую интуицию неоткуда, кроме как изучая геометрию установленным порядком, т.е. в 1-6 классах --- элементарно-наглядную, в 7--11 --- более сложную и содержательную, и причем более строго, через аксиомы, наконец в 1-м семестре аналитическую.

-- 12.02.2023, 10:02 --

Утундрий в сообщении #1581121 писал(а):

Но мышки продолжают жевать кактус

Да, примерно так. Мне придумывание новых доказательств теоремы Пифагора или других столь же общеизвестных фактов всегда казалось странным занятием. Растрата своего и чужого интеллекта, а иногда и народных денюх. Тем более, что почти все эти доказательства используют площади, то есть они, собственно, являются не доказательствами, а вариантами приблизительного обоснования теоремы Пифагора в рамках наглядной геометрии (которую дети в 1-6 классах проходят).

Вот еще нечто аналогичное, но на другом уровне : 10, или сколь их сейчас есть, доказательств основной теоремы алгебры (т.е., что любой многочлен над ${\mathbb C}$ имеет корень в ${\mathbb C}$). Есть же доказательство Даламбера, и, бог мой, чего же боле ?

[Утундрий]

У любого интересующегося классической геометрией сегодня существуют два пути. Первый - изящные переводы с греческого и второй - изучение современного компактного логически непротиворечивого объекта под названием Аффинная геометрия.

[miflin]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1581238 писал(а):

Нет, не в этом дело.

Вспоминаю 1 курс, лекция по ангему, преподаватель в качестве иллюстрации приводит
доказательство теоремы Пифагора, возводя a+b в скалярный квадрат - видите как просто!.
У меня, желторотика, возникло сомнение из-за того, что в скалярном произведении используется
тригонометрическая функция, далее ретроспективная мысль об основном тригонометрическом
тождестве (фактически - для меня - теореме Пифагора)... Короче, это доказательство не явилось
для меня убедительным... Впрочем, я являюсь таким желторотиком и сейчас...

[vpb]

miflin в сообщении #1581272 писал(а):

У меня, желторотика, возникло сомнение из-за того, что в скалярном произведении используется
тригонометрическая функция, далее ретроспективная мысль об основном тригонометрическом
тождестве

Проще говоря, вы поняли, что вам пытаются вешать лапшу на уши. Такое трезвомыслие заслуживает одобрения.

Утундрий в сообщении #1581269 писал(а):

изучение современного компактного логически непротиворечивого объекта под названием Аффинная геометрия.

Нет, этот объект, несмотря на некоторые красиво звучащие слова, особого отношения к классической геометрии не имеет.