Всем доброго здоровья.
Известно, что
![$\{V_n\}$ $\{V_n\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/e/aae560d1d1cd52ef0c334596558fe9e682.png)
стационарная случайная последовательность с ограниченным вторым моментом (не обязательно нормальная!) с матожиданием
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
, отличным от нуля. У меня в распоряжении находится реализация
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
подряд идущих членов этой последовательности:
![$$
v_0,\, v_1,\, ...,\, v_{N-1}\; ,
$$ $$
v_0,\, v_1,\, ...,\, v_{N-1}\; ,
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/4/4a477b64e90137ed0df00cebe306fffa82.png)
где
![$N$ $N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/c/f9c4988898e7f532b9f826a75014ed3c82.png)
много больше характерного радиуса кореляции. (Например, радиус корреляции порядка
![$20$ $20$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/0/ee070bffef288cab28aad0517a35741b82.png)
, а
![$N\approx 3000$ $N\approx 3000$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92bd172ad076f1cfd9ac79aff54faece82.png)
.) Надо предложить наилучшую формулу для вычисления значения матожидания
![$\nu$ $\nu$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/9/b49211c7e49541e500c32b4d56d354dc82.png)
.
Во всех учебниках предлагается следующая классическая формула:
Неужели нет формулы лучше этой? Рассмотрим следующую альтернативу...
Определим нестационарную случайную последовательность
![$\{X_n\}$ $\{X_n\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/f/78f178b548bfdffbd1ea2efde8d6973882.png)
на основе исходной:
![$$
X_{n+1} - X_n = V_n\;,\qquad X_0 = 0\; .
$$ $$
X_{n+1} - X_n = V_n\;,\qquad X_0 = 0\; .
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/1/6f17e7658e3b1f6b7d53bef5dc77324e82.png)
Её матожидание должно быть линейной функцией от
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Построим теперь соответствующую детерминированную последовательность:
![$$
x_n = \sum_{k=0}^{n-1} v_k\, , \qquad n = 1,\, 2,\, ...,\, N\; .
$$ $$
x_n = \sum_{k=0}^{n-1} v_k\, , \qquad n = 1,\, 2,\, ...,\, N\; .
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e87cd1fcbc7de71909c8945f39e613d82.png)
Построим линейную регрессию для
![$\{x_n\}$ $\{x_n\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/3/0e30ce074f8d2084c7c5735517974ac482.png)
и определим оценку
![$\tilde\nu_2 = a_{\rf lr}$ $\tilde\nu_2 = a_{\rf lr}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/5/2d5285d4a556278916a778625085bfe382.png)
согласно коэффиценту наклона линейной регресии. Моя практика показывает, что оценка
![$\tilde\nu_2$ $\tilde\nu_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/6/2e654a2b15f3e35e754bd679b2f3762b82.png)
лучше чем
![$\tilde\nu_1$ $\tilde\nu_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/a/85a34a97a2511d39271a2461ee5956db82.png)
.
Как это грамотно обосновать? Какая есть литература?