Связность и односвязность

[ElfDante]

Здравствуйте! В литературе (в частности, по группам Ли) часто встречается фраза "связная односвязная группа Ли". Все термины понятны, но меня долгое время мучает вопрос, а какие группы Ли односвязны, но не связны? Или, еще лучше, хотелось бы пример односвязного, но не связного топологического пространства.
Заранее спасибо!

[mihaild]

А каким определением односвязности вы пользуетесь? Обычно в него включают связность, так что односвязного несвязного пространства быть не может.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

[KoppeKToP]

Вопрос, по большому счету, терминологический. В разных источниках могут быть приняты такие определения односвязности пространства: 1) Если два любых отображения окружности в него гомотопны; 2) Если любая петля стягиваема (т е. любое отображение окружности в это пространство можно стянуть до отображения в точку; 3) Если любое отображение окружности, образ которого содержит отмеченную точку, гомотопно отображению в эту отмеченную точку.

Очевидно, что первое определение автоматически требует связности пространства, а второе и третье - не обязательно. Но всегда можно рассматривать компоненты связности по отдельности, и тогда для каждой компоненты связности определения будут эквивалентны (с точностью до незначительных поправок из-за отмеченной точки), поэтому в контексте каждой конкретной задачи непоняток не возникает.

[ElfDante]

В книге П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям" (изд. 1989 г.) определение односвязности даётся через стягиваемость произвольной петли в точку (второе определение комментатора выше, в книге - стр. 37). При этом в дальнейшем в теоремах появляются "связные односвязные группы Ли" (например, теорема 1.54 на стр. 80). Я хочу пример односвязной несвязной группы Ли (или топологического пространства).
Скажем, группа О(n) (ортогональных матриц). Она не связна, так как содержит два непересекающихся открытых множества с определителями, отличающимися знаками. Однако является ли она односвязной? Вроде как мы не можем сделать так, чтобы при непрерывном отображении петли в O(n), образ лежал одновременно в двух компонентах связности - будет иметься разрыв. Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы. Следовательно, хочется сказать, что О(n) односвязно.
Однако последнее рассуждение можно обобщить вообще на произвольное топологическое пространство и сказать, что если топологическое пространство состоит из нескольких несвязных компонент, каждая из которых односвязна (пусть заодно и линейно связна), то оно является примером несвязного односвязного пространства.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю?

[mihaild]

ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):

Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы

Разве? Как Вы петлю $$\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$, $t = \overline{0, 2\pi}$ стянете?

Остальное всё так. Петля не может содержать точки из разных компонент связности, значит, если каждая компонента связности односвязна, то и всё пространство односвязно.

[vpb]

ElfDante в сообщении #1579598 писал(а):

"связная односвязная группа Ли"

Не совсем. Пишут "связная И односвязная", через союз "и". То есть смысл такой: а давайте рассмотрим группу Ли, да не всякую, а связную, и притом не просто связную, а еще и односвязную. Строго говоря, можно было бы писать просто "односвязную", связность не упоминая, но такова традиция. А когда союз опущен, это создает впечатление, что бывают односвязные группы связные, а бывают односвязные и не связные.

В оригинале, посмотрите, написано "connected, simply connected". Запятая и играет роль союза. При переводе она пропала ... короче, ляп перевода.

ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):

Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы.

Вовсе нет. Группа $SO(n)$ не односвязна, у нее есть двойное накрытие, называемое "спинорная группа", $Spin(n)$.
Не знаю что бы тут присоветовать ... ну, Постников, Группы и алгебры Ли. Полезная книжка.

-- 31.01.2023, 21:05 --

Да, а при $n=2$ универсальное накрытие для $SO(n)$ вообще бесконечнократное, и фундаментальная группа ${\mathbb Z}$. Это при $n>2$ ${\mathbb Z}_2$.

-- 31.01.2023, 21:13 --

ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):

Однако последнее рассуждение можно обобщить вообще на произвольное топологическое пространство и сказать, что если топологическое пространство состоит из нескольких несвязных компонент, каждая из которых односвязна (пусть заодно и линейно связна), то оно является примером несвязного односвязного пространства.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю?

Нет, не правильно. Понятие односвязности применять к несвязным пространствам не принято. В крайнем случае можно сказать "топологическое пространство, каждая компонента связности которого односвязна". Притом еще надо разграничивать связность и линейную связность, ибо это не одно и то же (связность слабее).

[ElfDante]

Благодарю за пояснения! Мне стало легче)

[Утундрий]

vpb в сообщении #1579645 писал(а):

Пишут "связная И односвязная", через союз "и". То есть смысл такой: а давайте рассмотрим группу Ли, да не всякую, а связную, и притом не просто связную, а еще и односвязную. Строго говоря, можно было бы писать просто "односвязную", связность не упоминая, но такова традиция.

Традиция - страшная сила) Нелепей звучало бы только "Односвязная и тем самым связная".

[mihaild]

В этой книге на той же 37 странице, прямо перед определением односвязного многообразия, написано "Если специально не оговорено противное, все многообразия (подмногообразия и т.д.) предполагаются связными".

[pppppppo_98]

ElfDante в сообщении #1579598 писал(а):

Все термины понятны, но меня долгое время мучает вопрос, а какие группы Ли односвязны, но не связны

Односвязность и связность - топологические понятия. Причем односвязность - влечет связность.