2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 12:05 


31/01/23
21
Здравствуйте! В литературе (в частности, по группам Ли) часто встречается фраза "связная односвязная группа Ли". Все термины понятны, но меня долгое время мучает вопрос, а какие группы Ли односвязны, но не связны? Или, еще лучше, хотелось бы пример односвязного, но не связного топологического пространства.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
А каким определением односвязности вы пользуетесь? Обычно в него включают связность, так что односвязного несвязного пространства быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.01.2023, 12:44 
Админ форума


02/02/19
1991
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 13:04 


19/05/20
29
Вопрос, по большому счету, терминологический. В разных источниках могут быть приняты такие определения односвязности пространства: 1) Если два любых отображения окружности в него гомотопны; 2) Если любая петля стягиваема (т е. любое отображение окружности в это пространство можно стянуть до отображения в точку; 3) Если любое отображение окружности, образ которого содержит отмеченную точку, гомотопно отображению в эту отмеченную точку.

Очевидно, что первое определение автоматически требует связности пространства, а второе и третье - не обязательно. Но всегда можно рассматривать компоненты связности по отдельности, и тогда для каждой компоненты связности определения будут эквивалентны (с точностью до незначительных поправок из-за отмеченной точки), поэтому в контексте каждой конкретной задачи непоняток не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 21:07 


31/01/23
21
В книге П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям" (изд. 1989 г.) определение односвязности даётся через стягиваемость произвольной петли в точку (второе определение комментатора выше, в книге - стр. 37). При этом в дальнейшем в теоремах появляются "связные односвязные группы Ли" (например, теорема 1.54 на стр. 80). Я хочу пример односвязной несвязной группы Ли (или топологического пространства).
Скажем, группа О(n) (ортогональных матриц). Она не связна, так как содержит два непересекающихся открытых множества с определителями, отличающимися знаками. Однако является ли она односвязной? Вроде как мы не можем сделать так, чтобы при непрерывном отображении петли в O(n), образ лежал одновременно в двух компонентах связности - будет иметься разрыв. Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы. Следовательно, хочется сказать, что О(n) односвязно.
Однако последнее рассуждение можно обобщить вообще на произвольное топологическое пространство и сказать, что если топологическое пространство состоит из нескольких несвязных компонент, каждая из которых односвязна (пусть заодно и линейно связна), то оно является примером несвязного односвязного пространства.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):
Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы
Разве? Как Вы петлю $$\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$, $t = \overline{0, 2\pi}$ стянете?

Остальное всё так. Петля не может содержать точки из разных компонент связности, значит, если каждая компонента связности односвязна, то и всё пространство односвязно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 22:02 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
ElfDante в сообщении #1579598 писал(а):
"связная односвязная группа Ли"
Не совсем. Пишут "связная И односвязная", через союз "и". То есть смысл такой: а давайте рассмотрим группу Ли, да не всякую, а связную, и притом не просто связную, а еще и односвязную. Строго говоря, можно было бы писать просто "односвязную", связность не упоминая, но такова традиция. А когда союз опущен, это создает впечатление, что бывают односвязные группы связные, а бывают односвязные и не связные.

В оригинале, посмотрите, написано "connected, simply connected". Запятая и играет роль союза. При переводе она пропала ... короче, ляп перевода.
ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):
Следовательно петли могут лежать только в определенных компонентах связности, где они очевидно стягиваемы.
Вовсе нет. Группа $SO(n)$ не односвязна, у нее есть двойное накрытие, называемое "спинорная группа", $Spin(n)$.
Не знаю что бы тут присоветовать ... ну, Постников, Группы и алгебры Ли. Полезная книжка.

-- 31.01.2023, 21:05 --

Да, а при $n=2$ универсальное накрытие для $SO(n)$ вообще бесконечнократное, и фундаментальная группа ${\mathbb Z}$. Это при $n>2$ ${\mathbb Z}_2$.

-- 31.01.2023, 21:13 --

ElfDante в сообщении #1579641 писал(а):
Однако последнее рассуждение можно обобщить вообще на произвольное топологическое пространство и сказать, что если топологическое пространство состоит из нескольких несвязных компонент, каждая из которых односвязна (пусть заодно и линейно связна), то оно является примером несвязного односвязного пространства.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я рассуждаю?
Нет, не правильно. Понятие односвязности применять к несвязным пространствам не принято. В крайнем случае можно сказать "топологическое пространство, каждая компонента связности которого односвязна". Притом еще надо разграничивать связность и линейную связность, ибо это не одно и то же (связность слабее).

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 22:36 


31/01/23
21
Благодарю за пояснения! Мне стало легче)

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
vpb в сообщении #1579645 писал(а):
Пишут "связная И односвязная", через союз "и". То есть смысл такой: а давайте рассмотрим группу Ли, да не всякую, а связную, и притом не просто связную, а еще и односвязную. Строго говоря, можно было бы писать просто "односвязную", связность не упоминая, но такова традиция.
Традиция - страшная сила) Нелепей звучало бы только "Односвязная и тем самым связная".

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение31.01.2023, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8337
Цюрих
В этой книге на той же 37 странице, прямо перед определением односвязного многообразия, написано "Если специально не оговорено противное, все многообразия (подмногообразия и т.д.) предполагаются связными".

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность и односвязность
Сообщение02.02.2023, 15:57 


29/01/09
428
ElfDante в сообщении #1579598 писал(а):
Все термины понятны, но меня долгое время мучает вопрос, а какие группы Ли односвязны, но не связны
Односвязность и связность - топологические понятия. Причем односвязность - влечет связность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group