Неоднородно заряженное кольцо

[Ignatovich]

Хорда проведена на расстоянии $a$ от центра окружности радиуса $R$ и делит ее на две дуги, заряженные с постоянными линейными плотностями $\lambda$ и $-\lambda$. Определите положение точек внутри и вне окружности в ее плоскости, в которых потенциал электрического поля равен нулю.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ничего не могу с собой поделать, но с первого взгляда тема почему-то читается как "Неоднократно заряженное кольцо".

[svv]

(Оффтоп)

Одна такая точка находится на середине хорды. А другая — на пересечении касательных к окружности, проходящих через концы хорды.

[EUgeneUS]

Меня гложут смутные сомнения, что должно быть не конечное множество точек, а замкнутая линия.

Обоснование:

1. Приближаясь к положительно заряженной части на нужное малое расстояние, мы можем найти точку со сколь угодно большим потенциалом.
2. Аналогично, приближаясь к отрицательно заряженной части на нужное малое расстояние, мы можем найти точку со сколь угодно большим по модулю, но отрицательным потенциалом.
3. При движении между этими двумя точками по непрерывной кривой не содержащей особенностей (то есть, не пересекающей саму окружность) потенциал также будет изменяться непрерывно, а значит в какой-то точке кривой будет равен нулю.

[svv]

EUgeneUS в сообщении #1579449 писал(а):

должно быть не конечное множество точек, а замкнутая линия

Факт. Пересечение эквипотенциальной поверхности $\varphi=0$ с плоскостью диска. Я назвал две очевидных точки.

[Ignatovich]

svv в сообщении #1579465 писал(а):

Я назвал две очевидных точки.

Но это не все очевидные точки.

[svv]

Ещё две — концы хорды. В несколько условном смысле. Потенциал там не определён, но эквипотенциальная поверхность $\varphi=0$ (как и любая $\varphi=\operatorname{const}$) через эти точки проходит.

[Ignatovich]

Не эти плохие точки я имел в виду.

[svv]

Внутри окружности — вся хорда.
Вне — пока думаю.

-- Пн янв 30, 2023 17:51:53 --

А вне — дуга окружности, проходящей через центр заряженной окружности и концы хорды.
Иначе говоря, дуга окружности, которая получается инверсией хорды относительно центра заряженной окружности.

[Ignatovich]

svv в сообщении #1579511 писал(а):

Внутри окружности — вся хорда.

Да, именно так - хорда, видимо, часть замкнутой эквипотенциальной кривой в плоскости кольца, проходящей через точку пересечения касательных. Это все, что я знаю об этой кривой .

-- 30.01.2023, 20:11 --

svv в сообщении #1579511 писал(а):

А вне — дуга окружности, проходящей через центр заряженной окружности и концы хорды.

...у меня не получается...подумаю.

[fred1996]

Очевидно, что в точке пересечения хорды с окружностью линия нулевого потенциала изнутри и снаружи асимптотически подходит под прямым углом.
Грубо говоря в точке пересечения кольцо перпендикулярно нулевой эквипотенциальной поверхности.

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1579565 писал(а):

Грубо говоря в точке пересечения кольцо перпендикулярно нулевой эквипотенциальной поверхности.

- не понял.

[fred1996]

Ignatovich
Произвольная хорда пересекает кольцо не под прямым углом. А линия с нулевым потенциалом должна примыкать под прямым. То есть вблизи кольца хорда всяко не имеет нулевой потенциал.

[svv]

Почему равен нулю потенциал на хорде.

Хорда разбивает окружность на две дуги, заряженные положительно (красная) и отрицательно (синяя). Возьмём на хорде точку $A$. Проведём через неё две прямых с очень малым углом между ними. Прямые вырезают на окружности две маленькие дужки (жирная красная и жирная синяя). Так как угол мал, расстояние от $A$ до любой точки красной дужки $\approx AC$, а до любой точки синей дужки $\approx AD$, где $C$ и $D$ — некоторые точки на дужках. Малые длины дужек (а следовательно, и их заряды по абсолютной величине) относятся как $AC:AD$. Поэтому вклады дужек в потенциал компенсируются.

-- Ср фев 01, 2023 01:22:49 --

Почему равен нулю потенциал на дуге окружности, полученной инверсией хорды.

Инверсия прямой, на которой лежит хорда, относительно "заряженной" окружности, даёт окружность (оранжевую), проходящую через $O$ и концы хорды. Инверсия только самой хорды даёт сплошную дугу оранжевой окружности — т.е. её внешнюю часть по отношению к "заряженной" окружности.
Возьмём ту же точку $A$ на хорде и те же малые дужки $C$ и $D$. Построим точку $B$ инверсией точки $A$.
"Заряженная" окружность является окружностью Аполлония для точек $A$ и $B$, то есть для любых двух точек $C$ и $D$ на ней $BC:AC=BD:AD=k=\operatorname{const}$.
Поэтому вклады дужек в потенциал в точке $B$ также компенсируются (заряды те же, а расстояния в $k$ раз больше).

[rascas]

svv в сообщении #1579668 писал(а):

Так как угол мал, расстояние от $A$ до любой точки красной дужки $\approx AC$, а до любой точки синей дужки $\approx AD$, где $C$ и $D$ — некоторые точки на дужках. Малые длины дужек (а следовательно, и их заряды по абсолютной величине) относятся как $AC:AD$. Поэтому вклады дужек в потенциал компенсируются.

Здесь упущен один важный момент в доказательстве: "угол наклона дужек $C$ и $D$ к линии, соединяющей эти дужки $CD$ - одинаковый".
Это верно в случае если синяя кривая и красная кривая это части одной окружности, а не просто какие-нибудь кривые линии.