колебания свободной поверхности жидкости в стакане

[Geen]

DimaM в сообщении #1579406 писал(а):

В волнах на поверхности горизонтальная скорость порядка вертикальной

А в стакане будут "волны на поверхности"?...

DimaM в сообщении #1579406 писал(а):

Из ответа получается, что характерная глубина движущегося слоя порядка диаметра.

Так и как найти оценку периода не влезая в гидродинамику?

DimaM в сообщении #1579406 писал(а):

А такие колебания вообще возможны?

Строго говоря, нет. (хотя, может быть, при "правильной форме" стакана...)

reterty в сообщении #1579411 писал(а):

Вместо скорости следует подставить выражение для скорости волн на глубокой воде

В школе выводят эту скорость? Или задача как-раз в этом?

[DimaM]

Geen в сообщении #1579415 писал(а):

Так и как найти оценку периода не влезая в гидродинамику?

Наверно, можно считать, что жидкость в слое толщиной порядка диаметра движется примерно с одной и той же скоростью. Тогда при высоте одного края над плоской поверхностью $h\ll R$ оценим потенциальную энергию как $U\approx \rho\pi R^2/2\cdot h/2\cdot gh=\rho g\pi R^2/2\cdot h^2/2$.
Глядя в потолок, оценим толщину движущегося слоя $H\approx R$, скорость течения $v\approx \dot{h}/2$. Тогда кинетическая энергия получится $K\approx\rho\pi R^2\cdot R\cdot v^2/2\approx \rho\pi R^3/4\cdot \dot{h}^2/2$. Частота малых колебаний - это отношение коэффициентов при $h^2/2$ и $\dot{h}^2/2$, то есть $\omega^2 \approx 2g/R$.
Как-то так, хотя напоминает подгонку под известный ответ.

-- 30.01.2023, 15:35 --

Geen в сообщении #1579415 писал(а):

А в стакане будут "волны на поверхности"?

Думаю, что да. Поскольку высота стакана обычно больше диаметра, приближение мелкой воды тут вряд ли годится.

[Geen]

DimaM в сообщении #1579418 писал(а):

Как-то так, хотя напоминает подгонку под известный ответ

У Вас ответ прямо зависит от предполагаемого "масштаба"....

[DimaM]

Geen в сообщении #1579423 писал(а):

У Вас ответ прямо зависит от предполагаемого "масштаба"....

Да. Но для поверхностных волн толщина затронутого слоя порядка $\lambda/2\pi$. Если по диаметру укладывается полволны, то $\lambda=4R$. Порядок выходит тот самый, а посчитать с точностью до двойки при таких грубых приближениях вряд ли получится.
Хотя ощущение подгонки под известный ответ, конечно, присутствует.

[GraNiNi]

Задумался, где находится центр тяжести колеблющейся массы воды и зависит ли его положение от амплитуды колебаний.

Нет ли близкой аналогии с колебаниями коромысла (балки) равноплечных весов.

[DimaM]

Оценка по стоячей волне тоже, вроде, дает близкий результат:

$$\omega=\sqrt{gk}=\sqrt{2\pi g/\lambda},$$

при $\lambda=4R$ выходит $\omega\approx \sqrt{g/R}$.

[Geen]

DimaM в сообщении #1579424 писал(а):

Если по диаметру укладывается полволны

А это согласуется тем, что поверхность плоская?

-- 30.01.2023, 13:51 --

DimaM в сообщении #1579426 писал(а):

выходит $\omega\approx \sqrt{g/R}$

Да это выходит просто из соображений размерности... вряд ли в этом задача.

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1579407 писал(а):

ИМХО, для "школьного решения" достаточно принять, что при достижении максимума потенциальной энергии кинетическая - ноль (нет движущихся элементов воды).

Это довольно очевидно и скорее всего это даже точно так и есть. Но это мало что дает. Лагранжиан будет выражен только через $x$, но он будет содержать полную энергию. А производную полной энергии по $\dot x$ как раз найти сложно.

[Red_Herring]

Эта задача сложная, я бы сказал, для курса 4го матфака, в крайнем случае для 3го*: даже без учёта поверхностного натяжения и смачивания, надо рассматривать не только уравнение поверхности житкости, но и распределение скорости/давления по всей глубине (т.е. линеаризированный Навье-Стокс без вязкости).

[sergey zhukov]

Если для простоты взять квадратный стакан со стороной $H$, задать на поверхности жидкости соответствующий профиль вертикальной скорости (линейно возрастает от центральной линии в обе стороны, плоская поверхность жидкости сохраняется), считать, что колебания малы и подсчитать (численно) соответствующее потенциальное течение и его энергию в объеме стакана, то получается, что кинетическая энергия всего объема жидкости есть:

$$E=0,1\rho H^3 \dot x^2$$

где $\dot x$ - скорость центра тяжести треугольной призмы (т.е. вертикальная скорость поверхности жидкости на расстоянии $\frac{2}{3}$ от центральной линии). Отсюда можно получить, что:

$$\nu=0,62\sqrt{\frac{g}{H}}$$

Для $H$=10 см получаем примерно 6 Гц. По моему, несколько многовато.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1579498 писал(а):

По моему, несколько многовато.

А если на два-пи поделить?... (круговая частота не пишется в Герцах)

[sergey zhukov]

Geen
Все там поделено уже. Исправил на $\nu$

-- 30.01.2023, 21:31 --

Недооценил кинетическую энергию. Правильнее будет:

$$E=0,25\rho H^3 \dot x^2$$

Тогда для $H=10$ см имеем примерно 4 Гц.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1579498 писал(а):

Отсюда можно получить, что:

$$\nu=0,62\sqrt{\frac{g}{H}}$$

Если вторая формула для кинетической энергии верна, то у меня получается коэффициент при корне $\approx 0.23$. Какая у вас выходит потенциальная энергия?

[sergey zhukov]

DimaM
Потенциальная энергия есть:

$$E=\frac{3}{2}\rho g H^2x^2$$

Я не очень аккуратно считал численно. Возможно, поэтому расхождение. У меня коэффициент при корне примерно 0,25.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1579584 писал(а):

Потенциальная энергия есть:

$$E=\frac{3}{2}\rho g H^2x^2$$

Многовато как-то. Объем поднимаемого кусочка $V=1/2\cdot H\cdot H/2\cdot 3x/2 = 3H^2x/8$, центр масс поднимается на высоту $2x/3$, итого выходит $U=\rho gH^2x^2/4$.