2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 14:50 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Мне давно в голову засела следующая задача: Определить период малых плоских колебаний свободной поверхности жидкости в круглом стакане радуса $R$. Трением жидкости о стенку стакана пренебречь. Я видел пару статей о нормальных модах таких колебаний при различных формах колеблющейся свободной поверхности. Там чистая матфизика. но это не то. Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"....

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 15:00 


17/10/16
3893
reterty
Плоских - в смысле поверхность жидкости все время остается плоской?

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 15:05 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
reterty в сообщении #1579288 писал(а):
Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"...

Там разве не Бессель получается? Какое уж тут "чисто школьное"...
Для оценки, думаю, можно $T\sim 4R/v$, где $v$ - скорость волны длиной $\lambda=4R$ (считая, что в поперечнике стакана помещается полволны).

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 15:14 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
sergey zhukov в сообщении #1579290 писал(а):
reterty
Плоских - в смысле поверхность жидкости все время остается плоской?

да

-- Вс янв 29, 2023 16:23:00 --

DimaM в сообщении #1579293 писал(а):
reterty в сообщении #1579288 писал(а):
Подразумевается, что решение данной задачи должно быть "чисто школьным"...

Там разве не Бессель получается? Какое уж тут "чисто школьное"...
Для оценки, думаю, можно $T\sim 4R/v$, где $v$ - скорость волны длиной $\lambda=4R$ (считая, что в поперечнике стакана помещается полволны).

да , там вроде Бессель. но задача, помнится, давалась на одной из школьных олимпиад. По размерности $\sqrt{R/g}$. Очевидно, составители хотели увидеть возвращающую силу, пропорциональную радиусу стакана

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 15:25 


17/10/16
3893
reterty
По моему, тут все сводится к поиску частоты колебаний жидкости в U - образной трубке. Практически те же методы нужно использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 15:26 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
насколько я понимаю, по-школьному можнo пытаться решить только в случае плоского профиля. Может изюминка кроется в отыскании положения центра масс возвышающейся (опущенной) части?

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 16:15 


17/10/16
3893
reterty
Ясно, что решением будут гармонические колебания (по крайней мере для малой амплитуды), а период их должен выражаться, как $T=2\p\sqrt{\frac{m}{k}}$, где $m$ - некоторая эффективная масса. $k=\frac{dF}{dx}$, где $dx$ - перемещение центра тяжести одной из половинок жидкости, $dF$ - соответствующее изменение ее веса. Это, пожалуй, не сложно вычислить.

А вот $m$ определить труднее. Скажем, она зависит от глубины стакана (для достаточно глубокого уже не зависит, конечно).

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Извиняюсь за возможно ламерский вопрос. А чем отличается колебание уровня жидкости в стакане от колебания круглой мембраны? Последняя задача классическая и рассмотрена во многих книгах.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 19:40 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
мат-ламер в сообщении #1579345 писал(а):
Извиняюсь за возможно ламерский вопрос. А чем отличается колебание уровня жидкости в стакане от колебания круглой мембраны? Последняя задача классическая и рассмотрена во многих книгах.

Тут поверхность свободная остаётся все время плоской. Меняется лишь её наклон к горизонтали и в случае мембраны колебания упругие а здесь волны гравитационные

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
reterty в сообщении #1579347 писал(а):
Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

Спасибо за пояснение! Сразу не дошло. Ну, потенциальную энергию жидкости, наверное, можем вычислить ( в зависимости от уровня поднятия края). Из закона сохранения энергии можем вычислить и кинетическую энергию. Далее можем записать лагранжиан и соответствующее дифференциальное уравнение. Или я усложняю? Вам наверное надо простое школьное решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 21:58 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
мат-ламер в сообщении #1579363 писал(а):
reterty в сообщении #1579347 писал(а):
Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

Спасибо за пояснение! Сразу не дошло. Ну, потенциальную энергию жидкости, наверное, можем вычислить ( в зависимости от уровня поднятия края). Из закона сохранения энергии можем вычислить и кинетическую энергию. Далее можем записать лагранжиан и соответствующее дифференциальное уравнение. Или я усложняю? Вам наверное надо простое школьное решение?

потенциальную энергию прдется вычислять через хитро определяемые центры масс кусочков. кроме того, скорости разных точек жидкости разные. это явно затрудняет вычисление общей кинетической энергии системы,..

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение29.01.2023, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
reterty в сообщении #1579369 писал(а):
скорости разных точек жидкости разные

считаем стакан очень глубоким - пренебрегаем горизонтальной скоростью...

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение30.01.2023, 09:02 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
reterty в сообщении #1579347 писал(а):
Тут поверхность свободная остаётся все время плоской.

А такие колебания вообще возможны?

Geen в сообщении #1579373 писал(а):
считаем стакан очень глубоким - пренебрегаем горизонтальной скоростью...

В волнах на поверхности горизонтальная скорость порядка вертикальной. Из ответа получается, что характерная глубина движущегося слоя порядка диаметра.

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение30.01.2023, 09:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
DimaM в сообщении #1579406 писал(а):
А такие колебания вообще возможны?


Вечером провел опыт со стаканом и немедленно выпил.
Форма поверхности выглядит мениском, но она и в покое так выглядит - это следствие поверхностного натяжения.
Каких-то волн, с длинной волны меньше диаметра стакана (рябь) не наблюдаетися.

-- 30.01.2023, 09:14 --

reterty в сообщении #1579369 писал(а):
потенциальную энергию прдется вычислять через хитро определяемые центры масс кусочков. кроме того, скорости разных точек жидкости разные. это явно затрудняет вычисление общей кинетической энергии системы,..


ИМХО, ничего хитрого там нет, но муторно.
Вычислать кинетическую энергию не нужно.
ИМХО, для "школьного решения" достаточно принять, что при достижении максимума потенциальной энергии кинетическая - ноль (нет движущихся элементов воды).

 Профиль  
                  
 
 Re: колебания свободной поверхности жидкости в стакане
Сообщение30.01.2023, 10:22 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Мне почему то все больше и больше нравится решение DimaM. Вместо скорости следует подставить выражение для скорости волн на глубокой воде. Может тогда и получится в точности искомый корень Бесселя в качестве коэффициента.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group