Меня смущает Гамильтониан

[granit201z]

Здравствуйте. Столкнулся с таким видом уравнения Шредингера:
$ih\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi$
где $H$ - оператор Гамильтона. По сути сумма потенциальной и кинетической энергии.
Смущает меня во всем этом то, что потенциальная энергия - функция положения, а кинетическая - функция импульса. И это одновременно
Как это уживается?

[Утундрий]

granit201z в сообщении #1578845 писал(а):

Смущает меня во всем этом то, что потенциальная энергия - функция положения, а кинетическая - функция импульса.

А то, что все буквы чёрные и такие разные - не смущает?

[granit201z]

Утундрий в сообщении #1578846 писал(а):

то, что все буквы чёрные и такие разные - не смущает?

нет

[Doctor Boom]

Попытаюсь протелепатить

granit201z в сообщении #1578845 писал(а):

Смущает меня во всем этом то, что потенциальная энергия - функция положения, а кинетическая - функция импульса.

Если бы вы написали стационарное уравнение Шредингера, то я бы предположил, что вы считаете, что раз гамильтониан представляет собой сумму потенциальной и кинетической части, то и собственная ВФ будет иметь свойства ВФ двух игрушечно-модельных стац. урав. Шред. - одно в гамильтониане содержит только потенциальный член, а другое только кинетический член, т.е. по сути это было бы нахождением собственных функций операторов координаты (почти) и кинетической энергии, которые были бы представлены в виде дельта-функций в одном случае и волн де Бройля в другом, т.е. в одном была бы определена координата, а в другом импульс. И возвращаясь к исходному гамильтониану, представляющего собой сумму кинетической и потенциальной части, вам кажется, что его собственные функции будут одновременно собственными функциями оператора импульса (кин. энергии) и координаты. Так вот, это не так

-- 27.01.2023, 19:46 --

granit201z в сообщении #1578845 писал(а):

Столкнулся с таким видом уравнения Шредингера:

А с каким вы до этого сталкивались?

[lel0lel]

Попробуйте поставить над оператором в правой части крышечку, это должно прояснить ситуацию. Если всё же вопросы останутся, то пишите не стесняясь.

[granit201z]

Doctor Boom в сообщении #1579112 писал(а):

Если бы вы написали стационарное уравнение Шредингера, то я бы предположил, что вы считаете...

возможно я именно так и подумал бы и, более того, подумал бы что это не так, если бы понимал в приведенном выше тексте не только лишь слова по отдельности, но и общий смысл такой их конфигурации.

-- 28.01.2023, 08:30 --

lel0lel в сообщении #1579122 писал(а):

Если всё же вопросы останутся, то пишите не стесняясь.

пока что вопрос один. что принципиально изменит крышечка?

[lel0lel]

granit201z в сообщении #1579165 писал(а):

пока что вопрос один. что принципиально изменит крышечка?

А вы её поставьте и всё увидите. Причём я было сначало пытался пошутить, но получилось, что это не шутка, а вполне серьезно.

У вас получится оператор физической наблюдаемой -- полной энергии. Дальше смотрим аксиомы КМ, там сказано, что оператору произвольной физической наблюдаемой сопоставляется (вполне конкретным образом) эрмитов оператор. Так что удивительного в том, что именно такой оператор сопоставляют наблюдаемой -- полной энергии? Далее смотрим в аксиомы и видим, что эволюция квантовой системы описывается вполне конкретным образом. В частности, в картине Шредингера это УШ. Конечно, есть физические предпосылки выбору таких аксиом, о которых можно почитать подробнее в литературе. Но удивляться тому, что всё согласно аксиомам, довольно странно.

[Red_Herring]

lel0lel, ВЫ уносите не в ту степь (гамильтонова механика появилась раньше квантовой и не нуждается в ней для понимания).

granit201z Вы брали дифференциальное исчисление функций нескольких переменных? Вы знаете, что гамильтониан зависит от координат и импульсов? Причём в данном случае он распадается на две части, одна из которых зависит только от координат, а вторая только от импульсов (а в общем случае это необязательно).

[granit201z]

Red_Herring в сообщении #1579230 писал(а):

granit201z Вы брали дифференциальное исчисление функций нескольких переменных?

Да. В учебнике рассматривался атом гелия. Итоговый Гамильтониан для него имел вид:
$H=-\frac{h^2}{2M}\Delta_\alpha -\frac{h^2}{2m}\Delta_1-\frac{h^2}{2m}\Delta_2-\frac{2e^2}{R_{\alpha1}}-\frac{2e^2}{R_{\alpha2}}+\frac{e^2}{r_{12}}$
где:
$M,m$ - массы ядра и электронов;
$-e$ - заряд электрона;
$\alpha, 1, 2$ - индексы для ядра, первого электрона, второго электрона;
$\Delta$ - оператор Лапласа.
Причем из того же учебника, только выше - я понял, что оператор Лапласа - это дважды примененный оператор импульса (только без учета постоянной $-ih$)

Red_Herring в сообщении #1579230 писал(а):

Вы знаете, что гамильтониан зависит от координат и импульсов?

Получается первая тройка членов - кинетический вклад в Гамильтониан (суммарная кинетическая энергия, и она зависит от импульсов), а вторая тройка - потенциальный вклад (потенциальная энергия, которая зависит от взаимного положения частиц). Но как это выражение (конкретно этот Гамильтониан) может быть определено, если во всех случаях что-то одно (либо координаты, либо импульсы) полностью неопределено?

-- 29.01.2023, 11:48 --

lel0lel в сообщении #1579228 писал(а):

Так что удивительного в том, что именно такой оператор сопоставляют наблюдаемой -- полной энергии?

Ну в классической физике, если что-то одновременно зависит от импульсов и координат - ничего удивительного. Для меня удивительно почему в квантовой такая зависимость встречается. И тут есть два варианта - либо такая зависимость действительно встречается (и тогда у меня вопрос "почему?"), либо я что-то неправильно понимаю (и тогда у меня вопрос "что именно?")

[Утундрий]

granit201z в сообщении #1579273 писал(а):

в классической физике, если что-то одновременно зависит от импульсов и координат - ничего удивительного. Для меня удивительно почему в квантовой такая зависимость встречается.

А, ну теперь понятно. Вопрошающий, похоже, где-то слышал, что в КМ "координата и импульс одновременно не существуют", вот и удивляется.

[Alex-Yu]

granit201z в сообщении #1579273 писал(а):

либо я что-то неправильно понимаю

Именно так: неправильно понимаете. Потенциальная энергия в КМ это вовсе не функция заданной координаты. Это оператор, действующий на волновую функцию. В координатном представлении (и только в нем) это оператор умножения на функцию, совпадающую с классическим выражением потенциальной энергии. Но все равно это оператор (вот такое отображение: $\psi(x) \to U(x)\psi(x) \,\, $), а не просто функция координат. С кинетической энергией аналогично.

То, что одновременно не существует координата и импульс означает в данном контексте то, что не существует волновой функции, одновременно являющейся собственной функцией и потенциальной и кинетической энергии. Но это никак не мешает существованию собственной функции их суммы (при этом такая собственная функция не является ни собственной функцией потенциальной энергии, ни собственной функцией кинетической энергии).

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1579273 писал(а):

Но как это выражение (конкретно этот Гамильтониан) может быть определено, если во всех случаях что-то одно (либо координаты, либо импульсы) полностью неопределено?

Неверно, что во всех случаях либо координаты, либо импульс "полностью не определены". Верно, что и координаты, и импульс, чаще всего, не полностью определены, т.е. не являются точно определёнными числами. Но это не мешает с ними работать математически - просто они описываются не числами, а более сложными математическими объектами.

[granit201z]

Alex-Yu в сообщении #1579283 писал(а):

что одновременно не существует координата и импульс означает в данном контексте то, что не существует волновой функции, одновременно являющейся собственной функцией и потенциальной и кинетической энергии

с этим у меня небольшой (а вернее большой) затык. Каково значение собственной функции во всем этом? Насколько я понимаю собственная функция для оператора это такая, действие на которую этим оператором равносильно бездействию, т. е. оператор не изменяет собственную функцию? А что это дает?

-- 29.01.2023, 16:06 --

Alex-Yu в сообщении #1579283 писал(а):

Потенциальная энергия в КМ это вовсе не функция заданной координаты

т. е. если координаты точно определены, то при этом все равно невозможно получить численное значение потенциальной энергии такой системы?

-- 29.01.2023, 16:16 --

Mikhail_K в сообщении #1579289 писал(а):

просто они описываются не числами, а более сложными математическими объектами

для меня это пока что кажется сложным. Т. е. я имею ввиду, что если координаты описываются каким-нибудь радиус-вектором, то они вроде как заданы, а если они описываются чем-то другим, не сводимым к вектору, то это вроде как уже и не координаты получается

-- 29.01.2023, 16:49 --

И еще один вопрос. Но это, наверное, уже про классическую полную энергию. Она же равна сумме кинетической и потенциальной и для замкнутых систем константа?
Но ведь тогда получается, что когда все расстояния между элементами системы очень малы, то потенциальная составляющая должна быть очень близка к этой константе, а кинетическая (да еще и поделенная между множеством элементов системы) составляющая дает ничтожные скорости этих элементов. Обладая ничтожными скоростями система не может быстро увеличивать расстояния между этими элементами. Это я к тому, что как тогда возможен большой взрыв? почему не медленное расширение?...
Ну и обратный случай. Когда расстояния огромны - потенциальный вклад ничтожен. А сумма квадратов всех импульсов должна таки равняться какой-то константе (из закона сохранения энергии), следовательно невозможны бесконечные скорости (если массы считать относительно постоянными и неубывающими с возрастанием скорости) . Связана ли ограниченность скорости света с законом сохранения энергии таким рассуждением?

[Alex-Yu]

granit201z в сообщении #1579300 писал(а):

затык. Каково значение собственной функции во всем этом?

Фраза изначально бессмысленная. Функция это функция. При чем здесь числовое значение???? Можно сказать, то функция -- это бесконечно много значений. А вы хотите одно.

-- Вс янв 29, 2023 20:56:28 --

granit201z в сообщении #1579300 писал(а):

т. е. если координаты точно определены, то при этом все равно невозможно получить численное значение потенциальной энергии такой системы?

Ну почему же. Если координаты точно определены, то и потенциальная энергия точно определена. А кинетическая -- не определена (но оператором импульса вполне можно подействовать и на функцию, соответствующую неопределенному импульсу).

[granit201z]

Alex-Yu в сообщении #1579311 писал(а):

При чем здесь числовое значение????

"каково значение" имелось ввиду "какова роль во всем этом", а не числовое значение