2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение26.01.2023, 17:00 
Аватара пользователя


10/12/22
8
всем привет! мне нужно доказать по определению для 2 разных последовательностей, что они бесконечно большие.
$\forall M>0\;\exists N(M): \forall n>N \Rightarrow |x_n|>M$ - определение бесконечно большой последовательности
1. $x_n=(1+\frac{1}{n})^{n ^ 2} $
2. $x_n=\frac{5^n}{n^2}$
в 1 последовательности приходит на ум прологарифмировать обе части, чтобы вытащить $n^2$ (модуль раскрывается без изменений). после вытаскивания $n^2$ за логарифм, отбросить логарифмы в обеих частях неравенства нельзя как раз из-за $n^2$ и доступные преобразования никуда не ведут.
если не логарифмировать, то что куда девать степень?
со 2 последовательностью то же самое, модуль без изменений, можно привести к $n\ln(5)-2\ln(n)=\ln(M)$ и как бы всё, тупик. без логарифмирования мешает степень n.
подпните в решении, пожалуйста. спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение26.01.2023, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
1. $a^{n^2}=\left(  a^n \right)^n$
2. $x_{n+1}/x_n=...$

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение26.01.2023, 19:11 
Аватара пользователя


10/12/22
8
TOTAL в сообщении #1578905 писал(а):
1. $a^{n^2}=\left(  a^n \right)^n$
2. $x_{n+1}/x_n=...$

для 1 это ничего не меняет (допускаю, что я не прав), ковыряние с логарифмами приводит к тупику $n\ln(1+\frac{1}{n})>\frac{1}{n}\ln(M)$.
$x_{n+1}/x_n=\frac{5n^2}{(n+1)^2}$, при этом для любых натуральных n полученное выражение больше единицы => последовательность монотонно возрастающая. Но по условию мне нужно доказать это по определению, т.е. т. Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности мимо (для дальнейшего доказательства что последовательность не ограничена). как тогда поступить?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение26.01.2023, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
bubblemint в сообщении #1578948 писал(а):
как тогда поступить?
Подумать ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение27.01.2023, 07:35 


11/01/21
29
bubblemint
Все верно, во втором задании попробуйте доказать, что последовательность неограниченна сверху, для этого можно использовать оценки, основанные на биноме Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение27.01.2023, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
1. $(1+\frac 1 n)^{n^2}=((1+\frac 1 n)^n)^n=(1+n\frac 1 n+\cdots+\frac 1 {n^n})^n>(1+1)^n$
2. $\frac {5^{n+1}} {5^n}=5$
$\frac {(n+1)^2}{n^2}=1+\frac 2 n+\frac 1 {n^2}<4 \text{   при } (n\ge 1)$
На этом Шехрезада прекращает дозволенные речи...

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение27.01.2023, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
$(1+\frac 1 n)^n>2$ - среднее арифметическое больше среднего геометрического

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать, что последовательность бесконечно большая
Сообщение29.01.2023, 03:35 


29/01/09
428
bubblemint в сообщении #1578900 писал(а):
$x_n=(1+\frac{1}{n})^{n ^ 2} $

по биному ньютона $(1+x)^n=1+n x+\dots\ge 1 +n x$, при $x\ge0, n \in \mathcal{N}$. Из этого $(1+\frac{1}{n})^{n^2}\ge 1+n$ - больще неограниченной последовательности

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group