доказать, что последовательность бесконечно большая

[bubblemint]

всем привет! мне нужно доказать по определению для 2 разных последовательностей, что они бесконечно большие.
$\forall M>0\;\exists N(M): \forall n>N \Rightarrow |x_n|>M$ - определение бесконечно большой последовательности
1. $x_n=(1+\frac{1}{n})^{n ^ 2} $
2. $x_n=\frac{5^n}{n^2}$
в 1 последовательности приходит на ум прологарифмировать обе части, чтобы вытащить $n^2$ (модуль раскрывается без изменений). после вытаскивания $n^2$ за логарифм, отбросить логарифмы в обеих частях неравенства нельзя как раз из-за $n^2$ и доступные преобразования никуда не ведут.
если не логарифмировать, то что куда девать степень?
со 2 последовательностью то же самое, модуль без изменений, можно привести к $n\ln(5)-2\ln(n)=\ln(M)$ и как бы всё, тупик. без логарифмирования мешает степень n.
подпните в решении, пожалуйста. спасибо.

[TOTAL]

1. $a^{n^2}=\left( a^n \right)^n$
2. $x_{n+1}/x_n=...$

[bubblemint]

TOTAL в сообщении #1578905 писал(а):

1. $a^{n^2}=\left( a^n \right)^n$
2. $x_{n+1}/x_n=...$

для 1 это ничего не меняет (допускаю, что я не прав), ковыряние с логарифмами приводит к тупику $n\ln(1+\frac{1}{n})>\frac{1}{n}\ln(M)$.
$x_{n+1}/x_n=\frac{5n^2}{(n+1)^2}$, при этом для любых натуральных n полученное выражение больше единицы => последовательность монотонно возрастающая. Но по условию мне нужно доказать это по определению, т.е. т. Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности мимо (для дальнейшего доказательства что последовательность не ограничена). как тогда поступить?

[TOTAL]

bubblemint в сообщении #1578948 писал(а):

как тогда поступить?

Подумать ещё.

[Flood]

bubblemint
Все верно, во втором задании попробуйте доказать, что последовательность неограниченна сверху, для этого можно использовать оценки, основанные на биноме Ньютона.

[Евгений Машеров]

1. $(1+\frac 1 n)^{n^2}=((1+\frac 1 n)^n)^n=(1+n\frac 1 n+\cdots+\frac 1 {n^n})^n>(1+1)^n$
2. $\frac {5^{n+1}} {5^n}=5$
$\frac {(n+1)^2}{n^2}=1+\frac 2 n+\frac 1 {n^2}<4 \text{ при } (n\ge 1)$
На этом Шехрезада прекращает дозволенные речи...

[TOTAL]

$(1+\frac 1 n)^n>2$ - среднее арифметическое больше среднего геометрического

[pppppppo_98]

bubblemint в сообщении #1578900 писал(а):

$x_n=(1+\frac{1}{n})^{n ^ 2} $

по биному ньютона $(1+x)^n=1+n x+\dots\ge 1 +n x$, при $x\ge0, n \in \mathcal{N}$. Из этого $(1+\frac{1}{n})^{n^2}\ge 1+n$ - больще неограниченной последовательности