Как объяснить/доказать законы умножения?

[Qwerty091]

Здравствуйте! Вот мучает вопрос: как ввести законы умножения для рациональных и действительных чисел?

Для натуральных чисел коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность очевидна, но дальше продвинуться не получается - действительное или рациональное число-то не представить в виде кружочка

И вроде бы есть очевидные геометрические доказательства (через площади), которые показывают, что это так. Ну хорошо-хорошо, давайте скажем, что это аксиома. Но что по содержанию?
Как нам определить операцию умножения? Чему будет, например, равно
$2.71 \cdot 3.14$?Уже ведь не скажешь "берём что-то сколько-то раз"

Застрял

[Amw]

Qwerty091 в сообщении #1578870 писал(а):

Чему будет, например, равно
$2.71 \cdot 3.14$?Уже ведь не скажешь "берём что-то сколько-то раз"

Почему не сказать? Мы же так и делаем - "в столбик" умножаем 271 на 314, а потом ставим точку.

[Anton_Peplov]

Qwerty091 в сообщении #1578870 писал(а):

Как нам определить операцию умножения?

Для рациональных чисел - через обыкновенные дроби с натуральными знаменателями. Всякое рациональное число есть дробь $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$. Умножение $x$ на $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$ есть умножение $x$ на $n$ и деление результата на $m$. Или деление на натуральные числа тоже непонятно?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе. Qwerty091, постарайтесь это запомнить, пожалуйста.

[Mikhail_K]

Qwerty091
Читайте:
Ландау Э. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1, глава 1, параграфы 1-2.

[Qwerty091]

Amv писал(а):

Почему не сказать? Мы же так и делаем - "в столбик" умножаем 271 на 314, а потом ставим точку.

Хмм, да это может сработать Правда возникают вопросы насколько это вообще легально, мы ведь само число меняем на другое.

Anton_Peplov писал(а):

Для рациональных чисел - через обыкновенные дроби с натуральными знаменателями. Всякое рациональное число есть дробь $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$. Умножение $x$ на $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$ есть умножение $x$ на $n$ и деление результата на $m$. Или деление на натуральные числа тоже непонятно?

Да, тут, похоже, я наврал и действительно все свойства умножения для натуральных переносятся и на рациональные. Осталось разобраться с действительными.

Mikhail_K писал(а):

Читайте:
Ландау Э. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1, глава 1, параграфы 1-2.

Почитаю, спасибо!

Ende писал(а):

Qwerty091, постарайтесь это запомнить, пожалуйста.

Запомнил, спасибо!

-- 26.01.2023, 16:29 --

Qwerty09 писал(а):

Да, тут, похоже, я наврал и действительно все свойства умножения для натуральных переносятся и на рациональные.

А нет, не наврал. Рассмотрим

$ \frac{a}b \cdot \frac{c}d$.

Пусть
$x = \frac{a}b$,

$y = \frac{c}d$.

Тогда по определению

$x \cdot b = a$,

$y \cdot d = c$

Перемножаем

$x \cdot b \cdot y \cdot d = a \cdot c $

Иии.. Всё! Мы же не знаем, что рациональные числа коммутативны..

[Qwerty091]

Прочитал первые страницы книжки Ландау.. Я в экстазе! Именно то, что мне нужно! Спасибо Вам ещё раз, Mikhail_K!