2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 15:28 


19/01/23
15
Здравствуйте! Вот мучает вопрос: как ввести законы умножения для рациональных и действительных чисел?

Для натуральных чисел коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность очевидна, но дальше продвинуться не получается - действительное или рациональное число-то не представить в виде кружочка :D

И вроде бы есть очевидные геометрические доказательства (через площади), которые показывают, что это так. Ну хорошо-хорошо, давайте скажем, что это аксиома. Но что по содержанию?
Как нам определить операцию умножения? Чему будет, например, равно
$2.71 \cdot 3.14$?Уже ведь не скажешь "берём что-то сколько-то раз"

Застрял :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 15:37 
Аватара пользователя


22/07/11
835
Qwerty091 в сообщении #1578870 писал(а):
Чему будет, например, равно
$2.71 \cdot 3.14$?Уже ведь не скажешь "берём что-то сколько-то раз"

Почему не сказать? Мы же так и делаем - "в столбик" умножаем 271 на 314, а потом ставим точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Qwerty091 в сообщении #1578870 писал(а):
Как нам определить операцию умножения?
Для рациональных чисел - через обыкновенные дроби с натуральными знаменателями. Всякое рациональное число есть дробь $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$. Умножение $x$ на $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$ есть умножение $x$ на $n$ и деление результата на $m$. Или деление на натуральные числа тоже непонятно?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.01.2023, 15:41 
Админ форума


02/02/19
1994
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе. Qwerty091, постарайтесь это запомнить, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Qwerty091
Читайте:
Ландау Э. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1, глава 1, параграфы 1-2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 16:08 


19/01/23
15
Amv писал(а):
Почему не сказать? Мы же так и делаем - "в столбик" умножаем 271 на 314, а потом ставим точку.

Хмм, да это может сработать :D Правда возникают вопросы насколько это вообще легально, мы ведь само число меняем на другое.

Anton_Peplov писал(а):
Для рациональных чисел - через обыкновенные дроби с натуральными знаменателями. Всякое рациональное число есть дробь $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$. Умножение $x$ на $n/m, n \in \mathbb Z, m \in \mathbb N$ есть умножение $x$ на $n$ и деление результата на $m$. Или деление на натуральные числа тоже непонятно?


Да, тут, похоже, я наврал и действительно все свойства умножения для натуральных переносятся и на рациональные. Осталось разобраться с действительными.

Mikhail_K писал(а):
Читайте:
Ландау Э. Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1, глава 1, параграфы 1-2.


Почитаю, спасибо! :D

Ende писал(а):
Qwerty091, постарайтесь это запомнить, пожалуйста.


Запомнил, спасибо! :D

-- 26.01.2023, 16:29 --

Qwerty09 писал(а):
Да, тут, похоже, я наврал и действительно все свойства умножения для натуральных переносятся и на рациональные.

А нет, не наврал. Рассмотрим

$ \frac{a}b \cdot \frac{c}d$.

Пусть
$x = \frac{a}b$,

$y = \frac{c}d$.

Тогда по определению

$x \cdot b = a$,

$y \cdot d = c$

Перемножаем

$x \cdot b \cdot y \cdot d = a \cdot c $

Иии.. Всё! :-( Мы же не знаем, что рациональные числа коммутативны..

 Профиль  
                  
 
 Re: Как объяснить/доказать законы умножения?
Сообщение26.01.2023, 19:00 


19/01/23
15
Прочитал первые страницы книжки Ландау.. Я в экстазе! Именно то, что мне нужно! Спасибо Вам ещё раз, Mikhail_K!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group