сумма векторов

[Руст]

Относительно векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$ известно, что из каждых трёх два перпендикулярны и все они по модулю не превосходят единицы (можно считать их равными единице по модулю).
Вычислить максимальное значение $z_n=|e_1+e_2+\dots +e_n|$.
1. Вычислите это вначале для $n=5,n=7$.
2. Оцените сверху это значение для произвольного $n$.
3. Можете ли найти нетривиальную оценку снизу?

[yvanko]

А какая размерность пространства?

[Genrih]

3. $\frac{n}{\pi}$ ?

[Руст]

Размерность так же не ограничена. На самом деле максимум достигается в размерности m, которая растёт в зависимости от n примерно как n в степени 2/3.

[juna]

Разрешите поинтересоваться, что Вы понимаете под тривиальным нижним ограничением- что-то вроде $(z_n)^2={(z_{n-1})}^2+1$ (модули единичны)?

[Руст]

Обозначим для удобства через: $z_n=|e_1+e_2+...+e_n|^2$ квадрат длины. Тривиальная нижняя оценка линейная, так как можно взять другой набор из m векторов и получить: $z_{m+n}\ge z_m+z_n.$

[juna]

1. $z_5=3$, $z_6=2\sqrt{3}$?

[Руст]

Ответы неверны. Приведу первые значения для квадрата длины:
$z_1=1,z_2=4,z_3=3+2\sqrt 2,z_4=8,z_5=5\sqrt 5, z_7=7+\sqrt{48+24\sqrt 2}.$

[juna]

Я приводил не квадрат длины, а саму длину для единичных векторов.
Что-то мне Ваши ответы кажутся странными для маленьких n. Например, $z_2=4$? – как, т.е. $1^2+1^2=4$. Для $z_3$ у меня тоже скромнее получается $1+\sqrt{2}$. Пока могу согласиться только с $z_ 4$ - у меня такая же получается. Может я чего-то не понял?

[Руст]

При n=2 условие перпендикулярности (из каждых три 2 перпендикулярны) не создает ограничения, поэтому максимальная длина равна 2, соответственно квадрат длины 4.

[juna]

Здесь Вы сами себе противоречите - требуете, чтобы два из трех были перпендикулярны. Раз третьего нет, то эти два должны быть перпендикулярны и квадрат максимальной длины равен 2. Отсюда и дальнейшие расхождения проистекают.

[Руст]

Но это искажённое представление о логике. Начните с 3, тут не должно быть расхождений (множество троек не пустое множество).

[evgeny]

Из неравенств на числа Рамсея $R(3,k) \le \frac {k(k+1)}{2}$ следует что $|e_1+e_2+...+e_m| < 2+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}$ при $m\le \frac {n(n+1)}{2}$

Таким образом получаем оценку $|e_1+e_2+...+e_{n(n+1)/2}|^2<\frac 49 n^3+O(n^2)$

Что дает $|e_1+...+e_n|^2 < \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{9} n^{\scriptstyle \frac 32} + O(n)$

[juna]

С тройкой расхождений нет, т.к. $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$, с четверкой тоже. С пятеркой может быть и существует более рациональное расположение, я лишь представлял вектора и пытался угадать ответ.

[Someone]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Здесь Вы сами себе противоречите - требуете, чтобы два из трех были перпендикулярны. Раз третьего нет, то эти два должны быть перпендикулярны и квадрат максимальной длины равен 2. Отсюда и дальнейшие расхождения проистекают.

Нет. Поскольку троек нет, то указанное требование применять не к чему. А к парам оно не применяется по определению.