Из выражения для гамильтониана осциллятора
![$$\hat{H} = \hbar \omega \,\hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2,$$ $$\hat{H} = \hbar \omega \,\hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2,$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/c/89cbb75e9bd35e0901b37317113980ae82.png)
где
![$\omega > 0,$ $\omega > 0,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/2/122bb3df116a49b1a982c4c21988d42982.png)
следует, что все его собственные значения положительные. В самом деле, пусть
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
- какое-нибудь собственное значение,
![$|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/4/7a4b107ddfaca0d7066a8787ddacc32082.png)
- принадлежащий ему нормированный собственный вектор гамильтониана. Тогда имеем верное равенство:
![$$(\hbar \omega\, \hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2)\,|\psi\rangle = E\,|\psi\rangle$$ $$(\hbar \omega\, \hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2)\,|\psi\rangle = E\,|\psi\rangle$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/1/0b11004bbf91b12900ff0065ee66415882.png)
Умножив скалярно обе стороны на
![$|\psi\rangle,$ $|\psi\rangle,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/5/c550c3f2d3d5299f1504f122f53e836782.png)
получим:
![$$\hbar \omega \,\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle + \hbar \omega/2 = E$$ $$\hbar \omega \,\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle + \hbar \omega/2 = E$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/0/c50e8529c8af63c89a5c02d66e0ff9dc82.png)
Пользуясь свойством эрмитова сопряжения, замечаем, что:
![$$\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle =\langle \hat{a}\psi| \hat{a}\psi\rangle\,\ge0$$ $$\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle =\langle \hat{a}\psi| \hat{a}\psi\rangle\,\ge0$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e689f03e312ee3fac9c74e95a4aedff82.png)
так как это квадрат нормы (т.е. это положительное число) вектора состояния (или 0, если
![$\hat{a}|\psi\rangle=0).$ $\hat{a}|\psi\rangle=0).$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/8/6687d94f0e74aa4d8235793f241f6e3982.png)
Таким образом видно, что
Ну а дальше, как Вы и сказали, действуя сколько-то раз оператором
![$\hat a,$ $\hat a,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/1/ab13ee07d4dda22c59b2e636b76e5ec682.png)
будем получать векторы состояния с энергией
![$E-2\hbar \omega,$ $E-2\hbar \omega,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/6/ef6df45c4d255deead75a1f11160980882.png)
... И вот если бы исходное значение
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
оказалось вдруг каким-то "пропущенным", т.е. не имеющим вида
![$\hbar \omega \, n+\hbar \omega/2,$ $\hbar \omega \, n+\hbar \omega/2,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/7/9b707cf7a5c22bb3a12510b9c6ace53d82.png)
где
![$n=0,1,2,...,$ $n=0,1,2,...,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/1/3d145654fbff0b768857be122384372e82.png)
то, продолжая действовать оператором
![$\hat a,$ $\hat a,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/1/ab13ee07d4dda22c59b2e636b76e5ec682.png)
мы рано или поздно стали бы получать состояния с отрицательными энергиями. Но это противоречило бы указанной выше положительности энергии. Значит, ничего не пропущено.