Гармонический осциллятор

[ptor00]

Добрый день, вопрос связан с операторами рождения и уничтожения в задаче квантового одномерного гармонического осциллятора. Понятно, что при действии оператора рождения на собственную функцию гамильтониана мы получаем состояние, отвечающее на $\hbar\omega$ большей энергии, при действии оператора уничтожения соответственно наоборот меньше. Из условия $\hat a\psi = 0$ находим основное состояние, и затем последовательным применением $\hat a^\dag $ можем найти возбужденные состояния, но почему таким образом мы находим весь спектр, не пропуская собственных значений?

[Cos(x-pi/2)]

Из выражения для гамильтониана осциллятора

$$\hat{H} = \hbar \omega \,\hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2,$$

где $\omega > 0,$ следует, что все его собственные значения положительные. В самом деле, пусть $E$ - какое-нибудь собственное значение, $|\psi\rangle$ - принадлежащий ему нормированный собственный вектор гамильтониана. Тогда имеем верное равенство:

$$(\hbar \omega\, \hat{a}^+ \hat{a} + \hbar \omega/2)\,|\psi\rangle = E\,|\psi\rangle$$

Умножив скалярно обе стороны на $|\psi\rangle,$ получим:

$$\hbar \omega \,\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle + \hbar \omega/2 = E$$

Пользуясь свойством эрмитова сопряжения, замечаем, что:

$$\langle \psi|\hat{a}^+ \hat{a}|\psi\rangle =\langle \hat{a}\psi| \hat{a}\psi\rangle\,\ge0$$

так как это квадрат нормы (т.е. это положительное число) вектора состояния (или 0, если $\hat{a}|\psi\rangle=0).$

Таким образом видно, что $E>0.$

Ну а дальше, как Вы и сказали, действуя сколько-то раз оператором $\hat a,$ будем получать векторы состояния с энергией $E-\hbar \omega,$ $E-2\hbar \omega,$ ... И вот если бы исходное значение $E$ оказалось вдруг каким-то "пропущенным", т.е. не имеющим вида $\hbar \omega \, n+\hbar \omega/2,$ где $n=0,1,2,...,$ то, продолжая действовать оператором $\hat a,$ мы рано или поздно стали бы получать состояния с отрицательными энергиями. Но это противоречило бы указанной выше положительности энергии. Значит, ничего не пропущено.

[amon]

ptor00 в сообщении #1577546 писал(а):

почему таким образом мы находим весь спектр, не пропуская собственных значений?

Здесь важно, как отметил Cos(x-pi/2),
что спектр гамильтониана ограничен снизу: все собственные состояния (энергии) положительны. Пусть мы пропустили какое-то состояние $\Psi_a,$ которому соответствует энергия $E_a.$ Подействуем на это состояние оператором уничтожения некоторое количество раз. Состояние $a^n\Psi_a,$ останется собственным состоянием с энергией $E_a-n\hbar\omega$ и при некотором $n$ получится $E_a-n\hbar\omega>0,$ а $E_a-(n+1)\hbar\omega<0.$ То есть, у нас оказалось два основных состояния с разными энергиями и волновыми функциями, чего не бывает.

[ptor00]

Cos(x-pi/2), amon
Спасибо за ответы, теперь стало понятно.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1577595 писал(а):

ptor00 в сообщении #1577546 писал(а):

почему таким образом мы находим весь спектр, не пропуская собственных значений?

Здесь важно, как отметил Cos(x-pi/2),
что спектр гамильтониана ограничен снизу: все собственные состояния (энергии) положительны. Пусть мы пропустили какое-то состояние $\Psi_a,$ которому соответствует энергия $E_a.$ Подействуем на это состояние оператором уничтожения некоторое количество раз. Состояние $a^n\Psi_a,$ останется собственным состоянием с энергией $E_a-n\hbar\omega$ и при некотором $n$ получится $E_a-n\hbar\omega>0,$ а $E_a-(n+1)\hbar\omega<0.$ То есть, у нас оказалось два основных состояния с разными энергиями и волновыми функциями, чего не бывает.

Рассуждение правильное, но неполное. А почему $a^{n+1}\Psi_a$ будет собственным состоянием? Ведь может оказаться, что $a^{n+1}\Psi_a=0$. И никакого противоречия. Надо ещё показать, что тогда $\Psi_a=0$.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1577624 писал(а):

А почему $a^{n+1}\Psi_a$ будет собственным состоянием? Ведь может оказаться, что $a^{n+1}\Psi_a=0$. И никакого противоречия. Надо ещё показать, что тогда $\Psi_a=0$.

Эта часть повторяет стандартный вывод спектра через лестничные операторы, поэтому я ее опустил. У уважаемого ptor00 вопросов не возникло, но если возникнут - можно это место прояснить.

[ptor00]

amon в сообщении #1577626 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1577624 писал(а):

А почему $a^{n+1}\Psi_a$ будет собственным состоянием? Ведь может оказаться, что $a^{n+1}\Psi_a=0$. И никакого противоречия. Надо ещё показать, что тогда $\Psi_a=0$.

Эта часть повторяет стандартный вывод спектра через лестничные операторы, поэтому я ее опустил. У уважаемого ptor00 вопросов не возникло, но если возникнут - можно это место прояснить.

Как я понимаю, мы ведь уже нашли основное состояние из уравнения $a\psi=0$, которое отвечает энергии $\frac{1}{2}\hbar\omega$. И спектр невырожденный из общих свойств одномерного движения, поэтому никакой другой функции(не тривиальной) удовлетворяющей этому уравнению быть не может.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1577626 писал(а):

У уважаемого ptor00 вопросов не возникло, но если возникнут - можно это место прояснить.Вот видно, что он это не совсем понимает.

ptor00 в сообщении #1577657 писал(а):

Как я понимаю, мы ведь уже нашли основное состояние из уравнения $a\psi=0$, которое отвечает энергии $\frac{1}{2}\hbar\omega$. И спектр невырожденный из общих свойств одномерного движения, поэтому никакой другой функции(не тривиальной) удовлетворяющей этому уравнению быть не может.

Какие такие "общие свойства одномерного движения"?

[amon]

ptor00 в сообщении #1577657 писал(а):

Как я понимаю, мы ведь уже нашли основное состояние из уравнения $a\psi=0$, которое отвечает энергии $\frac{1}{2}\hbar\omega$.

Идея верная, но выражена коряво. Математики такого не одобряют. Более того, здесь можно про знаменитого штурмана Лиувиля (надеюсь, поняли о чем речь) не вспоминать, а явно показать, что либо $\Psi_a$ и $E_a$ совпадают с какой-то с.ф. и с.з., либо $\Psi_a=0.$

[ptor00]

Red_Herring в сообщении #1577672 писал(а):

Какие такие "общие свойства одномерного движения"?

В одномерной задаче дискретный спектр всегда не вырожденный. (Прочитал в Ландау, $\S$21).

И про эту задачу, не очень понимаю в чем здесь вопрос, ведь если $a^{n+1}\psi_a = 0$, тогда $a^{n}\psi_a$ удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению что и $\psi_0$, значит мы по тем же функциям и "спускаемся".

[amon]

ptor00 в сообщении #1577682 писал(а):

$a^{n}\psi_a$ удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению что и $\psi_0$

Вот так - нормально. Математики, возможно, потребуют навести здесь еще какой-нибудь марафет, а для физиков, IMHO, этого достаточно.

[Red_Herring]

ptor00 в сообщении #1577682 писал(а):

В одномерной задаче дискретный спектр всегда не вырожденный.

У одномерного оператора $-\frac{d^2}{dx^2}$ на окружности весь спектр (кроме $0$) двукратный.