Из выражения для гамильтониана осциллятора

где

следует, что все его собственные значения положительные. В самом деле, пусть

- какое-нибудь собственное значение,

- принадлежащий ему нормированный собственный вектор гамильтониана. Тогда имеем верное равенство:

Умножив скалярно обе стороны на

получим:

Пользуясь свойством эрмитова сопряжения, замечаем, что:

так как это квадрат нормы (т.е. это положительное число) вектора состояния (или 0, если

Таким образом видно, что
Ну а дальше, как Вы и сказали, действуя сколько-то раз оператором

будем получать векторы состояния с энергией

... И вот если бы исходное значение

оказалось вдруг каким-то "пропущенным", т.е. не имеющим вида

где

то, продолжая действовать оператором

мы рано или поздно стали бы получать состояния с отрицательными энергиями. Но это противоречило бы указанной выше положительности энергии. Значит, ничего не пропущено.