Определить поведение функций, если известно поведение локаль

[mihaild]

Это как-то из пушки по воробьям. Возьмем $a$ - самую левую точку после начала отрезка, где $f(x) = g(x)$, и применим на отрезке от начала до $a$ теорему Ролля к функции $f(x) - g(x)$.

[thething]

mihaild в сообщении #1577569 писал(а):

Это как-то из пушки по воробьям.

Тогда пусть будет так: пусть неравенство $f(x)>g(x)$ впервые нарушается при $x=x_0$, тогда (если $x_0$ -- точка пересечения)

$$g(x_0)=f(x_0)<f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to+0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le$$

$$\le\lim\limits_{h\to+0}\dfrac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=g'(x_0)=g(x_0).$$

Если же $x=x_0$ -- точка касания, то всё совсем тривиально.

[Maxim19]

mihaild
Вы правы, ладно, всё равно вроде не велика потеря, например можно в той построенной функции просто взять производную, равную самой функции в точке.

-- 17.01.2023, 16:00 --

mihaild
Что то плохо понимаю, как её применить. Можно подробнее?

[mihaild]

Возьмем $h(x) = f(x) - g(x)$. Заметим что $h'(x) > h(x)$. Возьмем, как предлагает thething, $x_0$ такую что $h(x_0) = 0$, $h(x) \neq 0$ при $x \not\in (a, x_0)$. Применим теорему Ролля к функции $h$ на отрезке $[a, x_0]$, она нам даст $x_1$ такую что $h'(x_1) = 0$. Что можно сказать об $h(x_1)$?

[Maxim19]

Ну можно сказать, что та производная равная нулю представима в виде разности производных, которые либо равны нулю, либо кто то отрицательное значение имеет, что противоречит условию. В это имели ввиду?

-- 17.01.2023, 16:16 --

Как то намного короче моего доказательства, круто

[mihaild]

Я имел в виду, что $h'(x_1) = 0$, значит $h(x_1) < 0$, но $h(a+) > 0$, значит по теореме о промежуточном значении $h(x_2) = 0$ для какого-то $x_2 \in (a, x_1)$, что противоречит минимальности $x_0$.