Определить поведение функций, если известно поведение локаль

[Maxim19]

Здравствуйте, решаю задачу и вдруг стала интересна одна мысль. Допустим для простоты функции $g(x) f(x)$ положительны. И мы знаем что они в промежутке каком то дифференцируемы. Так же известно, что в начальной точке этого промежутка функции равны, а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$. Интуиция подсказывает, что во всех точках промежутка кроме начальной, $f(x)>g(x)$. По формуле Коши можно так доказать для какой то достаточно малой окрестности, но как доказать, что это равносильно для всего промежутка?

-- 17.01.2023, 04:10 --

Пусть ещё производные будут непрерывны, чтобы всё таки через формулу коши доказательство работало.

[svv]

Я правильно понимаю, что в тексте дважды подразумевается союз "и" ?

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):

Допустим для простоты функции $g(x)$ и $f(x)$ положительны. И мы знаем что они в промежутке каком то дифференцируемы. Так же известно, что в начальной точке этого промежутка функции равны, а $f'(x) > f(x)$ и $g'(x) = g(x)$.

[Combat Zone]

Maxim19
Далее (после расстановки союзов и запятых), хочется, чтобы было понятно,

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):

а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$

при каких $x$ это выполнено, при всех, при некоторых. И наконец, каких успехов достигли вы, решая все это. Или наоборот, неудач.

[Maxim19]

Пусть это всё на отрезке $[a,b]$ и в точках $a$ и $b$ тоже есть производные этих двух функций, все условия относятся именно к этому отрезку и доказать надо, что на области $[a,b]$ кроме точки $a$ происходит такое $f(x)>f(x)$.

-- 17.01.2023, 04:40 --

В малых областях это можно установить, и в каждой точке той области тоже, но не факт, что такими областями можно затронуть весь отрезок. Думается мне, что можно применить теорему о равномерной непрерывности на отрезке. Например если бы для какой то точки можно всегда было в пределах этой точки увеличить $f(x)$ на константу, то по равномерной непрерывности можно было бы двигаться с шагами в константу, и выполняя неравенство $f(x)>g(x)$

-- 17.01.2023, 04:47 --

Я придумал

[svv]

Maxim19, прошу Вас всё-таки ответить на мой вопрос.

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):

Допустим для простоты функции $g(x) f(x)$ положительны.

Здесь я вижу произведение функций $g(x)$ и $f(x)$.

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):

функции равны, а $f'(x) > f(x)$ $g'(x) = g(x)$.

Здесь я вижу, что $f'(x)$ больше произведения $f(x)g'(x)$, которое равно $g(x)$.

Вы можете внести ясность?

[Maxim19]

Теорему о равномерной непрерывности можно применить не только к функциям, Но ведь и к их производным. В области точки $a$ по формуле Коши мы нашли область справа, где $f(x)>g(x)$. Далее исходя из положительности функций следует их монотонность вверх и монотонность вверх у их производных. Пусть $x_0$ это та самая точка из области, тогда $b=f(x_0)-g(x_0)$ и $f'(x_0)-g'(x_0)>b>0$. Далее из равномерной непрерывности найдём такую область, чтобы во всех точках диаметром $d$ выполнялось $g(x+d)-g'(x)<b$. Теперь добавим функцию $f_0$, равную $f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ и функцию $g_0$ равную $g(x_0)+f'(x_0+d)(x-x_0)$. И отсюда видно, что первая меньше своего оригинала, а вторая больше своего оригинала и всё это в окрестностях у точки $x_0$ не дальше $d$, ну и так как производная в этой окрестности больше второй, то получим на конце этой окрестности $f(x_0)-g(x_0)>b$, а значит и для производных аналогично, и так шагая по тем константам можно обойти весь отрезок [a,b]

-- 17.01.2023, 05:05 --

svv
Да, вы верно поняли, что там "и"

-- 17.01.2023, 05:06 --

Везде "и", где вы поставили.

[svv]

Спасибо.

[Maxim19]

Можете оценить моё доказательство?

[Утундрий]

Maxim19 в сообщении #1577502 писал(а):

Можете оценить моё доказательство?

Вы утвердили несколько утверждений относительно функции $f$ и отдельно относительно функции $g$. А потом вдруг, бабах! - $f>g$. С чего бы это? Они как-то связаны?

[Maxim19]

В какой момент именно? Если вы про изначальный, то по формуле Коши.

[Утундрий]

Maxim19 в сообщении #1577506 писал(а):

В какой момент именно? Если вы про изначальный, то по формуле Коши.

Не притворяйтесь. Я смотрел ваши сообщения и пришёл к выводу, что вы способны говорить мысль словами о форум. В большинстве случаев.

[Maxim19]

Что вы от меня хотите?

[wrest]

Утундрий в сообщении #1577504 писал(а):

Они как-то связаны?

Вроде же в первом посте написано, что

Maxim19 в сообщении #1577488 писал(а):

в начальной точке этого промежутка функции равны

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1577499 писал(а):

Далее исходя из положительности функций следует их монотонность вверх и монотонность вверх у их производных

Монотонность производных не следует. $f'$ вполне может где-то убывать, оставаясь больше $f$.

[thething]

По-моему, исходное утверждение -- простое следствие неравенства Гронуолла, только доказываемого для строгих неравенств.