2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 15:20 
Аватара пользователя
Это как-то из пушки по воробьям. Возьмем $a$ - самую левую точку после начала отрезка, где $f(x) = g(x)$, и применим на отрезке от начала до $a$ теорему Ролля к функции $f(x) - g(x)$.

 
 
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 15:56 
Аватара пользователя
mihaild в сообщении #1577569 писал(а):
Это как-то из пушки по воробьям.

Тогда пусть будет так: пусть неравенство $f(x)>g(x)$ впервые нарушается при $x=x_0$, тогда (если $x_0$ -- точка пересечения) $$g(x_0)=f(x_0)<f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to+0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\le$$$$\le\lim\limits_{h\to+0}\dfrac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=g'(x_0)=g(x_0).$$
Если же $x=x_0$ -- точка касания, то всё совсем тривиально.

 
 
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 15:59 
mihaild
Вы правы, ладно, всё равно вроде не велика потеря, например можно в той построенной функции просто взять производную, равную самой функции в точке.

-- 17.01.2023, 16:00 --

mihaild
Что то плохо понимаю, как её применить. Можно подробнее?

 
 
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 16:05 
Аватара пользователя
Возьмем $h(x) = f(x) - g(x)$. Заметим что $h'(x) > h(x)$. Возьмем, как предлагает thething, $x_0$ такую что $h(x_0) = 0$, $h(x) \neq 0$ при $x \not\in (a, x_0)$. Применим теорему Ролля к функции $h$ на отрезке $[a, x_0]$, она нам даст $x_1$ такую что $h'(x_1) = 0$. Что можно сказать об $h(x_1)$?

 
 
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 16:15 
Ну можно сказать, что та производная равная нулю представима в виде разности производных, которые либо равны нулю, либо кто то отрицательное значение имеет, что противоречит условию. В это имели ввиду?

-- 17.01.2023, 16:16 --

Как то намного короче моего доказательства, круто

 
 
 
 Re: Определить поведение функций, если известно поведение локаль
Сообщение17.01.2023, 16:25 
Аватара пользователя
Я имел в виду, что $h'(x_1) = 0$, значит $h(x_1) < 0$, но $h(a+) > 0$, значит по теореме о промежуточном значении $h(x_2) = 0$ для какого-то $x_2 \in (a, x_1)$, что противоречит минимальности $x_0$.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group