Принцип максимума для уравнения теплопроводности

[thething]

Добрый день. Попалась задача: функция $u(x,t)\not\equiv\operatorname{const}$ удовлетворяет уравнению $u_t=u_{xx}$ в области $\Omega_T=\{(x,t):0<t<T, 0<x<5-e^{-t}\}$. Доказать, что максимум этой функции на $\bar{\Omega}_T$ не может достигаться ни во внутренних точках области $\Omega_T$, ни при $t=T$.

Условие воспроизведено в точности. Видимо, в условии не хватает указания на непрерывность функции $u$ в $\bar{\Omega}_T$, но это ладно. Понятно, что принцип максимума к этой задаче будет применим. Собственно, моё недоумение связано с наличием строгого принципа максимума, согласно которому непостоянная функция может достигать максимального значения внутри области или на верхней крышке, при условии, что всюду ниже точки максимума (по оси времени) эта функция -- константа. Т.е. получается условие задачи некорректно или я что-то понимаю не так?

У этой задачи есть ещё второй пункт: пусть $u(x,t)$ является решением задачи $u_t=u_{xx}$ в области $t>0$, $0<x<5-e^{-t}$, при условиях $u\big|_{x=0}=u\big|_{x=5-e^{-t}}=0$ и $u\big|_{t=0}=\varphi(x)\in C_0^\infty(0,4)$ (финитная бесконечно гладкая функция). Доказать, что $\left\lvert u(x,t)\right\rvert<Ce^{-t/4}.$

Тут что-то вообще дельных мыслей нет. Понятно, что по принципу максимума $\left\lvert u(x,t)\right\rvert$ оценивается через $\left\lvert \varphi(x)\right\rvert$, но что с этим делать дальше -- неясно. Экспонента в итоговой оценке наводит на мысли о задаче с краевыми условиями $u\big|_{x=0}=u\big|_{x=4}=0$, решение которой методом разделения переменных именно так и оценивается. Но как эту задачу увязать с исходной -- ума не приложу. Помогите, пожалуйста, разобраться в этих вопросах.

[krum]

сперва может свести задачу к стандартной области $y=x/(5-e^{-t})$

-- 12.01.2023, 12:45 --

thething в сообщении #1576842 писал(а):

о задаче с краевыми условиями $u\big|_{x=0}=u\big|_{x=4}=0$,

может эту задачу тоже свести к отрезку $[0,1]$ заменой $x=4y$, а потом взять разность решений и посмотреть какой задаче она удовлетворяет и к ней применить принцип максимума

[thething]

krum в сообщении #1576848 писал(а):

сперва может свести задачу к стандартной области $y=x/(5-e^{-t})$

Пробовал, получилось уравнение $v_t=\dfrac{v_{yy}}{(5-e^{-t})^2}+\dfrac{ye^{-t}v_{y}}{5-e^{-t}}$, с которым неясно, что делать. Разность решений, думаю, ситуацию не исправит, ввиду линейности второй замены.

[krum]

thething в сообщении #1576852 писал(а):

Пробовал, получилось уравнение $v_t=\dfrac{v_{yy}}{(5-e^{-t})^2}+\dfrac{ye^{-t}v_{y}}{5-e^{-t}}$, с которым неясно, что делать

первая часть Вашего вопроса разве не снимается применением принципа максимума к этой задаче в области $(t,y)\in [0,T)\times [0,1]$?

[thething]

krum
В первой части вопроса меня смущает, что есть стандартный пример: склейка фундаментального решения и нуля (можно со знаком минус), которая достигает минимального (максимального) нулевого значения внутри области, не являясь при этом тождественной постоянной. Поэтому ни о каких заменах для первой части вопроса я даже не думал. Да и каким образом замена может повлиять на существование данного примера?

[krum]

Я не понял про фундаментальное решение. Я знаю, что сильный принцип максимума действует в цилиндрической области для задачи на функцию $v(t,y)$, В терминах исходной области и переменных $x$ он соотвествующим образом переформулируется.

-- 12.01.2023, 15:27 --

Можно написать уравнение на функцию $w=v_y$ ,продифференцировав уравнение на $v$ по $y$. Дальше я бы попробовал оценить $\|v_y\|_{L^2}$ с помощью стандартного энергетического подхода. Затем применить теорему вложения Соболева.

[Red_Herring]

Задача очень плохо сформулирована, поскольку помимо непрерывности не указано, что в верхняя крышка не включает в себя угловые точки, где может достигаться максимум. Например $u=2t+x^2$.

[thething]

krum в сообщении #1576860 писал(а):

Я знаю, что сильный принцип максимума действует в цилиндрической области

Не обязательно. См., например, теорему 6 отсюда. Да и в слабом принципе максимума "цилиндричность" непринципиальна.

krum в сообщении #1576860 писал(а):

Я не понял про фундаментальное решение.

Стандартный пример: уравнение теплопроводности в области (для удобства) $(-1,1)^2$, для которого функция $\Gamma(x-2,t)$, доопределённая при $t\le0$ нулём является решением, принимающим минимальное нулевое значение в бесконечном числе внутренних точек. Здесь $\Gamma(x,t)=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$. Дальше это всё сдвигами можно сместить в нашу область, а сменой знака из минимума получить максимум.

Red_Herring в сообщении #1576862 писал(а):

не указано, что в верхняя крышка не включает в себя угловые точки, где может достигаться максимум.

Эту мысль я не понял. Вроде область задана строгими неравенствами, о каких именно угловых точках идёт речь?

[krum]

thething в сообщении #1576876 писал(а):

Стандартный пример:

простите, стандартный пример чего? того, что теорема о принципе максимума неверна? Если этого, то, спасибо, не интересуюсь

[thething]

krum в сообщении #1576877 писал(а):

простите, стандартный пример чего? того, что теорема о принципе максимума неверна? Если этого, то, спасибо, не интересуюсь

Пример того, что, если максимальное значение достигается во внутренней точке области, то функция не обязана быть всюду постоянной. Причём здесь "теорема о принципе максимума неверна", не приписывайте мне свои фантазии.

[krum]

thething в сообщении #1576876 писал(а):

Стандартный пример: уравнение теплопроводности в области (для удобства) $(-1,1)^2$, для которого функция $\Gamma(x-2,t)$, доопределённая при $t\le0$ нулём является решением, принимающим минимальное нулевое значение в бесконечном числе внутренних точек. Здесь $\Gamma(x,t)=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$.

да, до меня наконец дошло what the point is, извините. Видимо, действительно кривая какая-то задача.

[Red_Herring]

thething в сообщении #1576876 писал(а):

Эту мысль я не понял. Вроде область задана строгими неравенствами, о каких именно угловых точках идёт речь?

В таком случае и верхняя крышка не обсуждается.

[thething]

Red_Herring в сообщении #1576893 писал(а):

В таком случае и верхняя крышка не обсуждается.

Ну, к верхней крышке у меня и нет претензий)) Если бы на ней достигался максимум, то функция была бы константой в области в силу строгого принципа максимума. Но я, кажется, понял, что вы изначально имели ввиду: в условии надо было указать не просто "ни при $t=T$", а как-то отметить, что кроме концевых точек этого сечения. Чтобы не было недопониманий, когда я пишу про "верхнюю крышку", я всюду имею ввиду интервал, а не отрезок.

Насчёт второго вопроса у Вас нет никаких мыслей? Откуда там можно экспоненту вытянуть? Неужели через тепловые потенциалы?

[krum]

thething в сообщении #1576842 писал(а):

Добрый день. Попалась задача: функция $u(x,t)\not\equiv\operatorname{const}$ удовлетворяет уравнению $u_t=u_{xx}$ в области $\Omega_T=\{(x,t):0<t<T, 0<x<5-e^{-t}\}$. Доказать, что максимум этой функции на $\bar{\Omega}_T$ не может достигаться ни во внутренних точках области $\Omega_T$, ни при $t=T$.

thething в сообщении #1576842 писал(а):

У этой задачи есть ещё второй пункт: пусть $u(x,t)$ является решением задачи $u_t=u_{xx}$ в области $t>0$, $0<x<5-e^{-t}$, при условиях $u\big|_{x=0}=u\big|_{x=5-e^{-t}}=0$ и $u\big|_{t=0}=\varphi(x)\in C_0^\infty(0,4)$ (финитная бесконечно гладкая функция). Доказать, что $\left\lvert u(x,t)\right\rvert<Ce^{-t/4}.$

пусть $w$ -- решение следующей задачи на отрезке $x\in[0,5]$:

$$w_t=w_{xx},\quad w\mid_{t=0}=\psi,\quad w\mid_{x=0}=w\mid_{x=5}=0,$$

где $\psi$ -- это $\varphi$ продолженная нулем
Функция $v=u-w$ является решением уравнения теплопроводности в области $Q_T$:

$$v\mid_{t=0}=0,\quad v\mid_{x=0}=0,\quad v\mid_{x=5-e^{-t}}=-w(t,5-e^{-t})$$

откуда в силу принципа максимума

$$u(t,x)\le w(t,x)+\max\{0,\max_{0\le s\le t}(-w(s,5-e^{-s}))\}$$

[thething]

krum
Замечательно, спасибо! Вот так и думал, что должно быть "элементарное" решение. Для получения итоговой оценки я бы предпочёл использовать принцип максимума модуля, чтобы не заморачиваться с нулём, но это уже технические детали.