Добрый день. Попалась задача: функция

удовлетворяет уравнению

в области

. Доказать, что максимум этой функции на

не может достигаться ни во внутренних точках области

, ни при

.
Условие воспроизведено в точности. Видимо, в условии не хватает указания на непрерывность функции

в

, но это ладно. Понятно, что принцип максимума к этой задаче будет применим. Собственно, моё недоумение связано с наличием строгого принципа максимума, согласно которому непостоянная функция может достигать максимального значения внутри области или на верхней крышке, при условии, что всюду ниже точки максимума (по оси времени) эта функция -- константа. Т.е. получается условие задачи некорректно или я что-то понимаю не так?
У этой задачи есть ещё второй пункт: пусть

является решением задачи

в области

,

, при условиях

и

(финитная бесконечно гладкая функция). Доказать, что

Тут что-то вообще дельных мыслей нет. Понятно, что по принципу максимума

оценивается через

, но что с этим делать дальше -- неясно. Экспонента в итоговой оценке наводит на мысли о задаче с краевыми условиями

, решение которой методом разделения переменных именно так и оценивается. Но как эту задачу увязать с исходной -- ума не приложу. Помогите, пожалуйста, разобраться в этих вопросах.