Найти функцию вероятности для такой следующей суммы СВ

[Verbery]

Здравствуйте! Имею такое условие задачи. Даны случайные величины $X_1, X_2,... \sim Be(p)$, так же есть случайная величина $N \sim Pois(\lambda)$, найти функцию вероятности от такой случайной величины: $Y = \sum^N_{i=1}X_i$

Я составил вот такую формулу, на сколько она близка к истине и можно ли её как-то улучшить (не нравится бесконечность в сумме)? $P(Y) = \sum_{l=0}^{\infty} Pois(\lambda, Y + l) \cdot \binom{Y + l}{Y} p^{Y}(1-p)^{l}$ тут $l$ начинается с $Y$, так как у нас не может быть сумма равна $Y$, если количество испытаний будет меньше, чем $Y$

P.S. если что, то $Be(p)$ - распределение Бернулли, $Pois(\lambda)$ - распределение Пуассона с параметром $\lambda$ и вторым аргументом передаётся количество успехов в испытаниях

[ShMaxG]

Все правильно. Только вместо $Y$ лучше использовать $y$. Заглавными буквами лучше случайные величины обозначать.

[Markiyan Hirnyk]

Условие надо уточнить. Распределение Пуассона принимает значение $0$. Как Вы понимаете сумму $\sum_{i=1}^{i=0}\dots$?

[alisa-lebovski]

Это прореживание пуассоновского потока. Ответ будет снова пуассоновский, с меньшим параметром.

[Markiyan Hirnyk]

alisa-lebovski
Не понял. Пожалуйста, изложите подробнее. Не встречал

Цитата:

прореживание пуассоновского потока

.

[alisa-lebovski]

Должно получиться $Poiss(\lambda p)$. Проще всего объяснить так: пуассоновское число событий получается из $n$ испытаний Бернулли с вероятностями успеха $r$, если $n\to\infty$, $r\to 0$, $nr\to\lambda$. Если мы прореживаем события так, что каждое остается с вероятностью $p$, это то же самое, как если бы мы сразу брали с вероятностью успеха $rp$. Или можно из комбинаторики получить, как человек начал.

[Markiyan Hirnyk]

alisa-lebovski
Опять не понял. Распределение Пуассона с любым положительным параметром принимает значение ноль и тот же вопрос о сумме $\sum_{i=1}^{i=0}\dots$ остается открытым.

[alisa-lebovski]

По умолчанию, сумма нулевого числа слагаемых всегда полагается равной нулю.

[Markiyan Hirnyk]

alisa-lebovski
Спасибо за изложение Вашего личного мнения. Возможно, вопрошатель полагает иначе. Кстати, сумма $Y$ в вопросе имеет биномиальное распределение с параметрами $N$ и $p$. При $N=0$ оно бессмысленно.

[alisa-lebovski]

А как по-Вашему, выражение $0!$ тоже бессмысленно? Ведь это число перестановок, а если ничего нет, то и переставлять нечего. Но в математике такие "бессмысленные" вещи обычно определяются так, чтобы согласовываться с остальными, осмысленными, когда это возможно. Для факториала это формула $(n-1)!n=n!$, откуда при $n=1$ следует $0!=1$. Далее, для независимых случайных величин $Bin(n_1,p)$ и $Bin(n_2,p)$ сумма имеет распределение $Bin(n_1+n_2,p)$. Исходя из этого, величина $Bin(0,p)$ должна считаться равной тождественному нулю (распределение сосредоточено в нуле). Это и по смыслу понятно: если не проводить испытаний, то не будет и успехов.

[Combat Zone]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1575862 писал(а):

При $N=0$ оно бессмысленно.

https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_sum

Verbery
Если вам рассказывали производящие функции, то лучше их использовать. Для суммы случайного числа случайных величин формула выводится обычно именно в этом разделе. Будет проще.

[Markiyan Hirnyk]

Combat Zone
Вики не является надежным источником. Некоторые ее статьи (например, Преобразование Фурье, Гомосексуализм, Дж. Буш мл. ) в англоязычной Вики постоянно переписываются.

-- 01.01.2023, 10:38 --

alisa-lebovski
Согласен. Команда Математики 13.1

PDF[ParameterMixtureDistribution[BinomialDistribution[n, p], 
  n \[Distributed] PoissonDistribution[\[Lambda]]], t]

отвечает $\begin{cases} \frac{e^{\lambda (-p)} (\lambda p)^t}{t!} & t\geq 0 \\ 0 & \text{True} \end{cases}$. Разработчики Математики понимают это как закон распределения, т.е. только для целых значений $t$.

[Combat Zone]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1575870 писал(а):

Команда Математики 13.1

А у Математики аж тринадцатая версия.
Вам есть что сказать по существу? Найти более точный источник для принятой нотации?
Я отвечаю ТС, а не вам, и по другому случаю.