Соотношение матанализа и дифференциальной геометрии

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

Насколько ДГ обобщает матанализ?

Допустим, есть понятие "функция", а есть понятие "неявная функция". Насколько одно понятие обобщает другое? Я думаю, что ни насколько. Это всё-таки понятия разные, хотя и имеющие общие моменты. Я не думаю, что ДГ обобщает анализ. В анализе много своей специфики, которая совсем не следует из результатов ДГ. Хотя точки соприкосновения у обеих наук большие.

-- Ср дек 21, 2022 20:28:14 --

EminentVictorians в сообщении #1574533 писал(а):

Насколько ДГ обобщает матанализ?

Может я вопрос не понял? Может вопрос стоит так, что может стоит сначала изучить ДГ, проникнуться глобальными идеями, которые потом помогут изучить анализ? Лично я сильно против такой постановки вопроса. Если речь идёт о последовательности изучения, то сначала надо изучить классический математический анализ. А классическая дифференциальная геометрия вовсю использует теоремы из классического анализа, например, теорему о неявной функции. В то же время влияния наоборот я чего-то не вижу.

-- Ср дек 21, 2022 20:32:19 --

EminentVictorians в сообщении #1574585 писал(а):

Я к тому, что структура изучения предмета в учебнике может быть очень неоптимальна. Хотелось бы узнать об этом риске по отношению к матанализу, чтобы не получилось так же как у меня получилось с алгеброй.

Я думаю, что не надо быть слишком замороченным на поиске идеального учебника. Его нет. Что есть, то и есть. И надо уметь быть довольным тем, что есть. Какое-то место можно подчерпнуть в одном учебнике. Второе место в этом учебнике не очень? Или не заходит? Тогда берём другой учебник.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1574631 писал(а):

В то же время влияния наоборот я чего-то не вижу.

Ну можно взять хотя бы определение дифференциала. Оно же чисто дифгеометрическое, разве нет? Как-то неожиданно получается, если так.

А так да - я хочу понять, какой кусок анализа обобщается дифгеометрией. И какой кусок анализа нужен для дифгеометрии (современной) в качестве пререквизитов.

мат-ламер в сообщении #1574631 писал(а):

И надо уметь быть довольным тем, что есть.

Да я так-то согласен, просто обидно за время и силы, потраченные впустую. А это примерно 50-60% от всего затраченного времени, если не больше. Вот такой вот объем ресурсов может высвободиться при правильном обучении.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1574634 писал(а):

Вот такой вот объем ресурсов может высвободиться при правильном обучении.

Это ерунда. Этапы должны быть пройдены. Так или иначе. И с общей топологии нельзя начинать мат. анализ, и с теории категорий нельзя начинать алгебру. А начинать надо так, как традиционно и начинают - с числовой прямой, с векторных пространств, простейших примеров групп, полей, колец.

[EminentVictorians]

Padawan, вот Вы как раз анализ преподаете. Можете рассказать, насколько есть обратное влияние (ДГ на анализ)? Не в рамках традиционных учебных курсов, а в смысле природы этих дисциплин.

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1574634 писал(а):

Ну можно взять хотя бы определение дифференциала. Оно же чисто дифгеометрическое, разве нет? Как-то неожиданно получается, если так.

Я так думаю, что в классическом анализе своё понимание дифференциала, а в дифференциальной геометрии своё. Хотя оба понимания имеют много сходных моментов. В классическом анализе у нас явная функция задаёт поверхность. Мы к той поверхности в данной точке строим касательную плоскость, которая также является явной функцией. В дифференциальной геометрии у нас явных функций нет. У нас есть некая поверхность. Как она задана, сказать трудно. Часто параметрически. Мы к этой поверхности в данной точке сначала строим касательную плоскость. Она необязательно задаётся явной функцией. Потом находим базис в этой касательной плоскости. Потом некую функцию, заданную на поверхности можно приближённо считать функцией, заданной на этой касательной плоскости. И мы приходим к случаю, который рассматривается классическим анализом. Так что случай классического дифференциала не вытекает стопроцентно из дифференциала дифгеометрического, ИМХО. Сначала надо освоить классический, а уж потом на его базе дифгеометрический дифференциал.

[Padawan]

Вообще, что Вы называете ДГ? В моём понимании ДГ - это риманова геометрия и различные её обобщения. Изучение различных кривизн, параллельных переносов, связностей. Для этой цели над мат. анализом надстраивается некоторая система понятий, которая и внутри собственно мат. анализа может находить применения. Те же дифференциальные формат наверняка появились в дифф. геометрии как удобный аппарат. Но собственно в мат. анализ вроде бы кроме дифф. форм ничего и не пришло. По крайней мере мне на ум не приходит.

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1574642 писал(а):

Вообще, что Вы называете ДГ? В моём понимании ДГ - это ...

Если это вопрос ко мне, то позволю себе уклониться от ответа, ибо в точности не знаю, что есть ДГ. Тут смотрел первую лекцию Вавилов по алгебре. Так он сразу сказал, что не знает, как точно сформулировать ответ на вопрос, что такое алгебра. Для себя я считаю, что ДГ, это такая наука, которая излагается в учебниках по ДГ. (Хотя термина ДГ в названии учебника может и не быть).

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1574644 писал(а):

Вообще, что Вы называете ДГ?

Я ориентируюсь на двухтомник Кобаяси, Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Под ДГ я понимаю его содержание.

Padawan в сообщении #1574642 писал(а):

Для этой цели над мат. анализом надстраивается некоторая система понятий

Я посмотрел начало этой книжки, вроде бы она вполне самодостаточна.

мат-ламер в сообщении #1574641 писал(а):

Я так думаю, что в классическом анализе своё понимание дифференциала, а в дифференциальной геометрии своё.

Там и там касательные пространства, там и там линейное отображение между ними. Касательные пространства наверное действительно касательные к разным сущностям. Но мне кажется это просто из-за того, что определение из анализа скорее частный случай определения из ДГ. Ну не могут такие близкие понятия не иметь общего контекста.

[krum]

(Оффтоп)

Ну, а, если, скажем, я со всем уважением, разумеется, и очень вежливо, вдруг спрошу топикстартера, а сколько будет

$$\varlimsup_{x\to\infty}\Big(x\int_x^\infty \cos(s^2)ds\Big)=?$$

Не всеже общематематические проблемы решать, можно и перекур устроить, о пустяках поговорить...

[EminentVictorians]

krum в сообщении #1574654 писал(а):

Ну, а, если, скажем, я со всем уважением, разумеется, и очень вежливо, вдруг спрошу топикстартера, а сколько будет

$$\varlimsup_{x\to\infty}\Big(x\int_x^\infty \cos(s^2)ds\Big)=?$$

Не всеже общематематические проблемы решать, можно и перекур устроить, о пустяках поговорить...

Интеграл - тождественно нулевая функция. Если его умножить на икс, он все равно будет тождественно нулевой функцией. Верхний и нижний предел тождественно нулевой функции совпадают и равны нулю. Ответ: ноль.

krum, я делаю скидку на то, что Вы здесь недавно, но пытаться выставить человека в неудобном положении (мол, "обсуждаешь тут всякие категории, а докажи ка сначала, что можешь взять обычный одномерный интеграл") - это называется провокация. Человеку с одной стороны по понятным причинам неудобно оставить такое сообщение без ответа, с другой стороны отвечать на такое никакого желания нету. Более того, практика - не мой конек, мне всегда теория лучше давалась. И теория также мне всегда была более интересна, чем практика, из-за чего и просадка по последней. Вы действительно легко можете найти одномерный интеграл, который я не смогу решить.

Но я не на экзамене, а Вы не мой преподаватель, поэтому в дальнейшем я такие сообщения буду игнорировать.

Здесь принято обсуждать то, что интересно, а не доказывать кому-либо что-либо.

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1574656 писал(а):

Интеграл - тождественно нулевая функция. Если его умножить на икс, он все равно будет тождественно нулевой функцией. Верхний и нижний предел тождественно нулевой функции совпадают и равны нулю. Ответ: ноль.

krum, я делаю скидку на то, что Вы здесь недавно, но пытаться выставить человека в неудобном положении (мол, "обсуждаешь тут всякие категории, а докажи ка сначала, что можешь взять обычный одномерный интеграл") - это называется провокация. Человеку с одной стороны по понятным причинам неудобно оставить такое сообщение без ответа, с другой стороны отвечать на такое никакого желания нету. Более того, практика - не мой конек, мне всегда теория лучше давалась. И теория также мне всегда была более интересна, чем практика, из-за чего и просадка по последней. Вы действительно легко можете найти одномерный интеграл, который я не смогу решить.

Но я не на экзамене, а Вы не мой преподаватель, поэтому в дальнейшем я такие сообщения буду игнорировать.

Здесь принято обсуждать то, что интересно, а не доказывать кому-либо что-либо.

Любопытный подход к вопросу, однако ... .

-- 21.12.2022, 23:17 --

Нет, не нуль там все-таки будет. Так что придется решить. (Кстати, интегралы обычно "берут" или "вычисляют". Иногда оценивают. Но решительно не "решают" !).

-- 21.12.2022, 23:45 --

vpb в сообщении #1574658 писал(а):

Так что придется решить

Впрочем, не настаиваю. Хотя не решить ее было бы, скажем так ... короче говоря, порождало бы вопросы.

[KoppeKToP]

EminentVictorians в сообщении #1574656 писал(а):

Интеграл - тождественно нулевая функция. Если его умножить на икс, он все равно будет тождественно нулевой функцией. Верхний и нижний предел тождественно нулевой функции совпадают и равны нулю. Ответ: ноль.

Функция $f(x) = \int_x ^\infty \cos s^2ds$ все-таки не равна тождественно нулю. У меня получился тоже ненулевой ответ на задачу.

(Оффтоп)

1/2, т.к. $\cos x /2\leqslant 1/2$.

[Утундрий]

EminentVictorians в сообщении #1574656 писал(а):

практика - не мой конек, мне всегда теория лучше давалась. И теория также мне всегда была более интересна, чем практика, из-за чего и просадка по последней.

Апология болтологии. Можно больше не тратить своё время.

[мат-ламер]

По поводу задачи от krum . Думал, какой учебник анализа подойдёт EminentVictorians . Для начала открыл учебник Рудина, который совершенно случайно открылся в конце главы 6. И там я обнаружил упражнение 19, близкое по духу к задаче krum . Там, правда, синус стоит вместо косинуса. Думаю, что если в этом учебнике такие интересные упражнения, то это учебник неплохой. Хотя, тут недавно на форуме говорили, что он для студентов не подходит (хотя, может я не так понял). Да и категорий в нём нет . Но это не должно смущать топик-стартера

Если Зорич может показаться трудноватым для топик-стартера, то может Рудин в качестве вводного чтива по анализу сойдёт?

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1574658 писал(а):

Впрочем, не настаиваю. Хотя не решить ее было бы, скажем так ... короче говоря, порождало бы вопросы.

Лошадка Репина?