Вероятность выбрать два шара.

[Maxim19]

В корзине лежит $m$ чёрных шаров и $n$ красных. Вася достаёт из корзины случайный шар и, если он чёрный, то заменяет его на красный, а если он красный, то кладёт его обратно.Найдите математическое ожидание и дисперсию числа красных шаров в корзине после $k$ итераций этой процедуры. Оба ответа должны быть компактными выражениями(то есть не содержать знаков суммирования, многоточий и пр.). Здравствуйте, надо решить вот такую задачку. С математическим ожиданием справился, так как надо просто сделать сумму индикаторных величин, однако с дисперсией сложнее. Для её вычислений необходимо найти матожидание произведения двух разных индикаторных случайных величин, характеризующих выбор или не выбор какого либо шара. Помогите, кто может написать шанс того, что два заранее указанных шара из $n+m$ шаров будут каждый выбран минимум по одному разу за $k$ взятий, если схема выбора с возвращением(необходимо написать ответ без многоточий и знаков суммы).
Моя попытка такая:
пусть $k-i=q$
Вероятность хотя бы по одному разу вытянуть те 2 шара равна
1-((n+m)^k-2\sum\limits_{i=1}^{k}\binom{i}{k}(n+m-2)^q)$$\frac{1}{(m+n)^k}$
Правильно ли я посчитал, и кто нибудь может привести к виду без знаков суммы и многоточий?

[мат-ламер]

Maxim19 в сообщении #1573501 писал(а):

кто знает вероятность выбрать 2 определённых шара из n шаров

Я знаю.

[Maxim19]

Это прекрасно, если расскажете как получили, я расскажу хорошую задачу где это мне было нужно)

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (оформите "n" как формулу);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[мат-ламер]

В предыдущем своём посту я как мог ответил на первоначальный вопрос топик-стартера

Цитата:

Кто знает...?

После чего от топик-стартера последовал следующий вопрос, а стартовый пост был в корне изменён. Попробую добавить к своему предыдущему ответу ещё несколько комментариев.

Maxim19 в сообщении #1573501 писал(а):

Помогите, кто может написать шанс того, что два заранее указанных шара из $n+m$ шаров будут каждый выбран минимум по одному разу за $k$ взятий, если схема выбора с возвращением(необходимо написать ответ без многоточий и знаков суммы).

Достаточно просто вычислить вероятность того, что какой-то конкретный шар не будет выбран. Дальше применить формулу включений-исключений. Хотя для двух шаров эта формула становится тривиальной и до неё можно догадаться, не зная особо теории.

Что касается того, как вообще решать задачу, то в решение топик-стартера я не вникал. Условие задачи намекает на то, что для ответа существуют достаточно простые формулы. Если бы решал я, то я бы попытался составить рекуррентные формулы для ответа. Сначала нашёл ответ для малых $k$ . Потом бы попытался обосновать ответ для общего случая индукцией. Но советовать тут что-то топик-стартеру не берусь. Ибо боюсь сбить его с пути, который он уже выбрал. И не считаю себя знатоком в этих областях.

[Maxim19]

Что такое топик-стартер?

[Ende]

Maxim19 в сообщении #1573653 писал(а):

Что такое топик-стартер?

Человек, начавший тему (топик) на форуме. В данном случае это Вы.

[Markiyan Hirnyk]

На русском языке - постановщик темы/вопроса, вопрошатель.

[Утундрий]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1573659 писал(а):

вопрошатель

Вопросун. Как вариант. (НабоковЪ одобяетЪ).

[gris]

Насчёт ТС, вернее, вариации на его задачу. Допустим, что число достачь шара неограничено. Но тогда рано или поздно чёрные шары закончатся. Позабавился моделированием ситуации. Вот табличка среднего числа шагов до победы красных: По горизонтали красные, по вертикали чёрные.
** 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
02 05 06 08 09 10 12 13 15 16 18 19 21
03 07 09 11 13 15 17 19 20 21 24 26 28
04 10 13 14 17 19 21 22 25 27 29 32 33
05 14 16 19 21 23 25 27 30 32 34 37 40
06 17 20 22 24 27 28 31 35 38 39 42 44
07 21 23 26 29 31 35 37 39 42 45 46 50
08 25 27 30 33 35 38 41 43 45 49 51 56
09 28 31 34 37 39 42 44 49 50 54 57 61
10 32 35 38 40 44 46 50 52 55 58 61 63
11 36 38 42 45 48 51 54 57 59 64 67 69
12 40 43 46 49 53 57 59 61 66 68 71 74
Похоже на правду? И есть ли формула?

(Програьмулька на PARI/GP)

{K=1000;S=300;
print("     01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12");
for(B=1,12,if(B<10,print1("0"));print1(B,"   ");
  for(R=1,12,J=0;
     for(k=1,K,b=B; r=R; T=B+R;
       for(j=1,S, if(random(T)<b, b=b-1;r=r+1);
               if(b==0, J=J+j; break); 
       ); 
     ); 
     J=floor(1/2+J/K);if(J<10,print1("0"));print1(J," ");
  ); print(" ");
)
}

[мат-ламер]

gris в сообщении #1573683 писал(а):

Похоже на правду? И есть ли формула?

На ваши вопросы ответить не могу. Ибо не спец. Но что-то в университете мы на эту тему проходили. Интересно будет разобраться, что осело в памяти. У некоторых остаётся только знание, где смотреть на эту тему и что читать в случае чего. Похоже у меня этот случай. Я так понимаю, что имеем марковскую цепь, которая описывает процесс случайного блуждания. И надо найти матожидание момента выхода на границу. Подобные вопросы рассматриваются в книге Кемени и Снелла по конечным марковским цепям (вроде как параграф 4.4).

[mihaild]

gris в сообщении #1573683 писал(а):

И есть ли формула?

Пусть $f(n, k)$ - среднее число попыток до вытаскивание чёрного шара, если всего красных шаров $n$, а чёрных $k - n$. Тогда $f(n, k) = \frac{k}{k - n}$. Ну а наше ожидание это $\sum_{i = n}^{n + m - 1} f(i, n + m) = \sum_{i=n}^{n + m - 1} \frac{n + m}{n + m - i} = (n + m) \cdot H_m$, где $H_m$ - $m$-я частичная сумма гармонического ряда. Она вроде бы ни через что лучшее не выражается.

[gris]

ну вот попробую визуализировать тараканьи гонки при 60 чёрных шарах и 0 красных.

[mihaild]

Число шагов, которые нужны чтобы с $x$ черных и $60 - x$ красных дойти до $60$ красных, плюс сплошной линией - подсчет по формуле выше.